Théorème de thales : démo Euclide [Résolu]

Estelle · 10-11-2009 10:46:08

bonjour j'ai cet exercice a faire mais je n'y arrive pas

démonstration d'euclide du theoreme de thales dans un triangle

http://img29.imageshack.us/img29/4786/g … mentye.jpg

dans cet exercice l'aire d'un triangle quelconque RST se note A(RST)
la droite (MN) est parallele a la droite (BC)

1) a justifier que les triangles BMC et BNC ont la meme aire c'est a dire : A(BMC) = A(BNC)

j'ai justifié en disant :A(BMC) = A(BNC) puisque ces 2 triangles ont ici la meme base [BC] et des hauteurs identiques MM` et NN`

déja ca est ce que c'est juste ? c'est assez justifié?

b En deduire que A(AMC) = A(ANB)

2) a demontrer que A(AMC) / A(ABC) = AM/AB

b demontrer que A(ANC) / A(ABC) = AN/AC

3) deduire des questions precedentes que AM/AB = AN/AC

je n'arrive pas a demontrer

yoshi · 10-11-2009 11:27:29

Bonjour, Estelle,

Pas si difficile que le précédent..
2 remarques :
1. Question 1. Tu es sur la bonne voie. Mais que MM' = NN' est une affirmation sans preuve. En faity c'est la partie la plus longue du problème...
Donc pour ce faire, tu dois prouver
a) que M'MNN"' est un parallélogramme et tu en déduiras l'égalité des longueurs.
b) tu devras encore justifier que [MM'] et [NN'] sont les hauteurs (écrit nulle part dans l'énoncé !) drespectives des triangles BMC et BNC

2. Question 3 b)

b demontrer que A(ANC) / A(ABC) = AN/AC

Ce n'est sûrement pas vrai : tu as fais une erreur en recopiant : ANC n'est pas un triangle, il s'agit bien plutôt de ANB !

Tu as besoin sans arrêt (ou presque) dans ce problème de [tex]Aire_{triangle}=\fac{Base \times hauteur}{2}[/tex]
A toi de bien choisir le couple (Base, hauteur)...

@+

Estelle · 10-11-2009 16:44:49

MNM'N' est un parallelogramme car ses cotes opposes sont paralleles

MM' est la hauteur issue de M du triangle BMC donc (MM') perpendiculaire a (BC)

NN' est la hauteur issue de N du triangle BNC donc (NN') perpendiculaire a (BC)

pour la 2) b c bien demontrer que A(ANC) / A(ABC) = AN/AC c'est un polycopié moi aussi je comprends pas

Estelle · 10-11-2009 18:01:27

pour la 2) j'ai fait ca

CJ la hauteur en C des triangles AMC et ABC on a : A(AMC) = AM * CJ /2 et A(ABC) = AB* h/2

BK la hauteur en B des triangles ABN et ABC on a : A(ABN) = AN * BK /2 et A(ABC) = AC * h /2

les rapports des aires sont A(AMC) / A(ABC) = AM * CJ /2 / AB * h /2 = AM/AB

A(ABN) / A(ABC) = AN *BK /2 / AC * h /2 = AN/AC

donc AM/AB = AN/AC

yoshi · 10-11-2009 18:24:52

Bonjour,

Je présume que ta photo n'a pas été retouchée et que les angles droits [tex]\widehat{MM'B}\quad\,et \widehat{NN'B}[/tex] figurent sur ton livre parce qu'ils ne sont pas cités dans l'énoncé...
Un dessin, codé, remplace une partie de l'énoncé : il évite une description pénible.
Bien,

Estelle a écrit :

MM' est la hauteur issue de M du triangle BMC(...)

Est-ce écrit dans l'énoncé ? Non ! Alors prouve-le.
Définition :
La hauteur relative à l'un des côtés d'un triangle est la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce côté.
On se sait pas coder une hauteur, mais des angles droits.
On ne sait pas coder une médiane, mais des longueurs égales oui.
On ne sait pas coder une bissectrice, mais des angles égaux, oui.
On ne sait pas coder une médiatrice, mais des angles droits et des longieurs égales, oui.
Ensuite, c'est à toi de traduire ce que te donne le dessin codé (en citant la propriété) par hauteur, médiane, bissectrice ou médiatrice...
Ta conclusion : "...donc (MM') perpendiculaire a (BC)" n'en est pas une, c'est codé dans le dessin.
Tu piges ?

Estelle a écrit :

MNM'N' est un parallélogramme car ses cotes opposés sont parallèles

Est-ce écrit dans l'énoncé ?
Pour deux d'entre eux, oui, pour les deux autres, non. Tu dois le prouver.
En effet le théorème dit :
Si un quadrilatère a ses 4 côtés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme

Estelle, tu as une fâcheuse tendance à confondre le début et la fin, les hypothèses et la conclusion.

Pour la 2.b) Ton prof a fait une faute de frappe, ça arrive, tu peux me croire. Je te conseille d'aller le voir en lui disant :
<< Monsieur, il est écrit là (tu lui montres ton polycopié) ... triangle ANC : les points sont alignés, ce n'est pas un triangle ! Ce ne serait pas plutôt ANB dont on parle juste avant ? >>
Les deux triangles (en plus de ABC) à utiliser dans les questions 2. a) et b) ne peuvent être que les triangles dont tu as dû démontrer avant que leurs aires étaient égales.
Tu peux me croire, il s'agit de AMC et ANB.
On les a cités, juste avant, ici :

b En déduire que A(AMC) = A(ANB)

@+

PS
Pourquoi h ?

CJ la hauteur en C des triangles AMC et ABC on a : A(AMC) = AM * CJ /2 et A(ABC) = AB* h/2

Tu vois bien l'angle droit en J. Donc tu peux bien conclure que la hauteur du traiangle ABC issue de C est aussi [CJ]. Donc tu écris A(ABC) = (AB x CJ)/2 c'est plus précis, sinon c'est juste...

donc AM/AB = AN/AC

C'est bon, mais tu vas trop vite...
C'est simple, mais tu dois justifier quand même d'abord que A(AMC/A(ABC) = A(ANB)/A(ABC), après tu pourras conclure à l'égalité que tu donnes.

Estelle · 10-11-2009 19:26:41

desole mais je pige rien et pourquoi parler du parallelogramme on travaille dans les triangles

dans le triangle ABC on a l'égalité des aires A(AMC) = A(ANB)

A(ABC) on a A(AMC) / A(ABC) = A(ANB) / A(ABC)

Dernière modification par Estelle (10-11-2009 19:42:12)

yoshi · 10-11-2009 22:07:54

Salut,

Ce n'est pas parce que tu travailles avec des triangles que tu ne vas te servir d'un parallélogramme ou autre chose...

Que valent les aires A(BMC) et A(BNC) ?
Rep. : Elles valent A(BMC) = (BC x hauteur)/2 et A(BNC) = (BC x hauteur)/2

Qui sont ces hauteurs ?
Rép. : (MM') et (NN')

Pourquoi ?
Rép. : on voit sur le dessin que (MM') et (NN') perp (BC)

Donc on sait maintenant que : A(BMC) = (BC x MM')/2 et A(BNC) = (BC x NN')/2

A quelle condition ces aires sont-elles égales ?
Rép. : à condition que MM' = NN'...

Comment va-t-on le prouver ?
Rép. : une seule façon possible, montrer M'MNN' est un parallélogramme.

Comment sait-on que c'est un parallélogramme ?
Rép. : Parce qu'il a 4 côtés // 2 à 2...

Comment le prouver ?
Rép. : Je l'ai expliqué dans mon post précédent.

Alors, convaincue ?

@+

Estelle · 11-11-2009 11:13:37

bonjour

on sait que MM' est perpendiculaire a BC et que NN' est perpendiculaire a BC or si deux droites sont perpendiculaires a la meme droite elles sont paralleles entre elles donc MN // M'N' et MM' // NN', or un quadrilatere qui a ses cotes opposes paralleles 2 a 2 est un parallelogramme

Dernière modification par Estelle (11-11-2009 11:40:24)

yoshi · 11-11-2009 11:37:59

Bonjour,

Je vois que je t'ai convaincue...
Mais tu n'as toujours pas prouvé que (MM') // (NN').

On sait que d'après le dessin :
[tex](MM')\perp (BC)[/tex]
[tex](NN')\perp(BC[/tex]
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, elles sont parallèles entre elles.
Donc (MM') // (NN')
Et comme l'énoncé dit (MN) // (BC), le quadrilatère M'MNN', qui a ses 4 côtés parallèles 2 à 2 est donc un parallélogramme.
Ses côtés opposés sont donc de même longueur et en particulier MM' = NN'...

-------------------------------------------------------------------------------------------------
Que ses diagonales ont le même milieu, c'est vrai, mais dans le problème ça ne sert à rien.
Que ce parallélogramme ait en plus deux angles droits égaux, c'est vrai, mais maintenant qu'il est prouvé que M'MNN' est un parallélogramme à part prouver que, en plus, c'est un rectangle (ce qui est inutile dans le problème) parce qu'il a un angle droit, c'est vrai, mais ça ne sert à rien dans le problème...
-------------------------------------------------------------------------------------------------

Donc, marche à suivre :
1. Tu expliques pourquoi (MM') et (NN') sont des hauteurs, et alors tu peux écrire les formules des aires de MBC et NBC
2. Tu montres le parallélisme de (MM') et (NN')
3. Tu en déduis que M'MNN' est un parallélogramme
4. Tu en déduis que MM' = NN'
5. Tu reprends tes formules d'aires et tu conclus qu'elles sont égales.

C'est clair maintenant ?

@+

Estelle · 11-11-2009 12:02:40

a (MM') perpendiculaire a (BC)
(NN') perpendiculaire a (BC)
donc MM' et NN' sont des hauteurs identiques

A(BMC) = BC * MM' /2

A(BNC) = BC * NN' /2

si 2 droites sont perpendiculaires a une meme troisieme droite elles sont paralleles entre elles donc (MM') // (NN')

(MN) // (BC) le quadrilatere M'MNN' qui a ses 4 cotes paralleles 2 a 2 est donc un parallelogramme
ses cotes opposes sont donc de meme longueur et MM' = NN'
donc A(BMC) = A(BNC) puisque ces 2 triangles ont ici la meme base [BC] et des hauteurs identiques MM' et NN'

pour la question 1) ma prof nous a dit de decomposer le triangle ABC en 2 triangles (ex AMC et BMC) et exprimer ainsi de 2 facons differentes l'aire de ABC puis se servir de la question a pour conclure

yoshi · 11-11-2009 13:02:44

RE,

1) a) C'est bon...
b) Ta prof t'a dit de remarquer que
* A(ABC) = A(AMC) + A(BMC) ou encore que A(AMC) = A(ABC) - A(BMC)
* A(ABC) = A(ANB) + A(BNC) ou encore que A(ANB) = A(ABC) - A(BNC)
Tu vois maintenant à quoi servait la question a) : elle servait à savoir que A(BMC) = A(BNC)

Maintenant, tu vois pourquoi on a A(AMC) = A(ANB)

Ensuite dans le 2.
Faire remarquer que [tex](CJ)\perp (AB)[/tex] donc que (CJ) est une hauteur du triangle ABC mais aussi du triangle AMC.
Même procédé pour (BK).
Après tu suis l'énoncé, comme tu l'as déjà fait dans ton message #4 d'hier 18 h 01:27...

@+

Estelle · 11-11-2009 14:22:01

merci

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