Equations à coefficient complexes [Résolu]

Eric · 01-11-2009 16:24:35

Bonjour,

Voila je suis coincé sur une équation qui est celle-ci :

(x-3 i)^2/(x+2)^2-(6 (x-3 i))/(x+2)+13 = 0

J'ai développé et j'ai trouvé sa : (8 x^2+(40+12 i) x+(43+36 i) = 0. Après je vois pas comment faire puisque le discriminant est un nombre irréel.

Merci de votre précieuse aide.

Dernière modification par Eric (01-11-2009 17:32:11)

freddy · 01-11-2009 19:51:32

Eric a écrit :

Bonjour,
Voilà, je suis coincé sur une équation qui est celle-ci :
[tex]\frac{(x-3i )^2}{(x+2)^2}-\frac{6(x-3 i)}{x+2}+13 = 0[/tex]
J'ai développé et j'ai trouvé ça : [tex]8\imes x^2+(40+12 i)\times x+(43+36 i) = 0[/tex]. Après je vois pas comment faire puisque le discriminant est un nombre imaginaire.
Merci de votre précieuse aide.

Salut,

Je n'ai pas fait les calculs mais te donne la route :

puisque tu sais que Delta est un nombre complexe, tu sais que tu peux toujours écrire la solution sous la forme suivante :

[tex]x_{1,2} = \frac{-b ± \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex] et tu utilises la propriété suivante

[tex]\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}\times (1+i)[/tex]

Bis bald

Dernière modification par freddy (01-11-2009 20:58:47)

yoshi · 01-11-2009 20:11:23

Salut,

J'ajoute, (sauf erreur de calcul, ce qu'à Dieu ne plaise) :
[tex]\Delta= 80-192i=16(5-12i)[/tex]

Ce n'est pas trop difficile : écrire 5-12i, sous la forme (a+ib)²
@+

PS

[tex]\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}\times (1+i)[/tex] ??

Jamais vu... Tu as une preuve ?

freddy · 01-11-2009 20:34:02

Salut yoshi,

la preuve en maths est simple : élève au carré ...

Sinon, sais tu trouver la racine carrée de z=a+ib ? Par définition, c'est le nombre w tel que w.w=a+ib, ok ?

On pose [tex]w=x+iy => w^2=x^2-y^2+2ixy[/tex], on identifie et on résout et si b est non nul et on trouve :

[tex]w=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+ i\frac{b}{|b|}\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)[/tex]

On peut aussi passer par le formule de Moivre, bien sûr.

Convaincu ?

freddy · 01-11-2009 20:35:33

suite ...

je suis en coordonnées cartésiennes, bien entendu. Mais tu peux aussi résoudre en coordonnées polaires, puis convertir.

Amicalement.

yoshi · 01-11-2009 20:37:13

Bonsoir,

J'aurai appris quelque chose de nouveau (la formule) ce soir et je n'ai pas eu le réflexe des carrés......
merci

@+

Dernière modification par yoshi (01-11-2009 20:39:46)

Eric · 01-11-2009 20:46:35

Merci pour vos indications.

J'ai calculé le discriminant cela fait bien 80-192i ,j'ai pris ta factorisation mais je ne vois pas comment 5-12i peut etre sous la forme (a+ib)²? tu veux dire 16(5-12i) ? Parce que quand j'essaye de factoriser 5-12i j'obtiens des racines moins un nombre si tu vois ce que je veux dire .

Dernière modification par Eric (01-11-2009 20:46:58)

Eric · 01-11-2009 20:58:22

Je viens aussi d'essayer de calculer les solutions j'arrive pas à me débarrasser des racines au dénominateur.

freddy · 01-11-2009 21:02:25

Qui te dit qu'il faut t'en débarrasser ?

Leçon de vocabulaire : quand tu disais que tu avais un nombre irréel, j'ai dit imaginaire et j'écris :xi

Là, tu as un nombre complexe, c'est tout !

Eric · 01-11-2009 21:09:48

Je vois j'ai compris sauf pour le discriminant je n'arrive à prouver qu'il est positif malgré les résultats.

yoshi · 01-11-2009 21:14:14

Re,

Mes calculs me conduisent à résoudre une équation bicarrée...
(a+ib)² = a²-b²+i 2ab = 5 -12i
J'ai donc :
[tex]\begin{cases}a^2-b^2 &=5\\2ab&=-12[/tex]
Ou encore :
[tex]\begin{cases}a^2 &=b^2+5\\ab&=-6[/tex]

Et enfin :
[tex]\begin{cases}a^2 &=b^2+5\\a^2b^2&=36[/tex]

D'où l'équation (substitution) :
[tex]b^2(b^2+5)=36\;\Leftrightarrow\;b^4+5b^2-36=0[/tex]
que je résous en posant c=b² :
[tex]c^2+5c-36=0[/tex]
[tex]\Delta =25+144= 169 = 13^2[/tex]
J'ai donc :
[tex]c_{1,2}=\frac {-5\pm 13}{2}[/tex]
Et j'ai à résoudre a, b étant des réels (de signes opposés) :
[tex]b^2 =-9[/tex] et [tex]b^2=4[/tex]

Je te laisse la suite...

@+

Eric · 01-11-2009 21:33:24

Je trouve:
[tex](\sqrt 86-i9)² et (\sqrt21+i4)²[/tex] pour factorisé 5-12i

Merci de votre aide , j'avais pas imaginé que sa donnerai autant de calculs xD .

A+

yoshi · 01-11-2009 21:44:51

Re,

A vrai dire moi non plus...
J'ai donc b = 2 ou b = -2
et a² = b²+5 =9
d'où les couples
(a , b) = (3,-2) ou (a,b) = (-3, 2)
et
5-12i = (3-2i)² = (-3+2i)²
Donc le tout premier discriminant est :
[tex]\Delta = 16(5 -12 i) =[4(3 - 2i)]^2[/tex]
Et
[tex]x_{1,2}= \frac{-40-12i \pm 4(3-2i)}{16}[/tex]

Où as-tu trouvé tes valeurs bizarroïdes ?

@+

PS

Si je prends (-3+2i) je retrouve les x1 et x2 précédents mais inversés le x1 calculé avec - racine est devenu le x2 calculé avec + racine

Eric · 01-11-2009 21:47:02

xD désolé j'avais fait affirmé que b=-9 et b=4 à la place de b²=-9 et b²=4 !

Eric · 01-11-2009 22:15:56

Merci pour votre aide mon problème est résolu.
Bonne continuation .
A+

thadrien · 01-11-2009 22:30:05

Eric a écrit :

Je vois j'ai compris sauf pour le discriminant je n'arrive à prouver qu'il est positif malgré les résultats.

Qu'appelles tu positif pour un nombre complexe ?

yoshi · 01-11-2009 22:38:12

Re,

C'est une bonne question, et la réponse aurait été instructive, mais c'est trop tard...

Quant à moi, je ne suis pas satisfait de tous les calculs faits : on trouve facilement 3 et - 2, surtout avec ab = -6, mais peut-on dire << Ce sont les bonnes valeurs parce que ça marche ! >> point barre ?
Ca me gêne un peu aux entournures...
Je suis preneur de tout autre démo plus simple.

@+

freddy · 01-11-2009 23:39:57

Re,

je plussoie la question de thadrien et fais remarquer que l'équation réduite d'Eric contient une erreur.

Il faut lire :

[tex]8x^2+(40+24i)\times x + (43+30i) = 0[/tex]

...

Dernière modification par freddy (01-11-2009 23:57:44)

Eric · 02-11-2009 08:42:09

Bonjour xD ,

[tex]\frac{(x-3i )^2}{(x+2)^2}-\frac{6(x-3 i)}{x+2}+13 = 0[/tex]

[tex]8x^2+(40+24i)\times x + (43+30i) = 0[/tex] donne des racines qui ne marchent pas :

x1=[tex]\frac{(-10-6-4(\sqrt{-22+60i})}{2}[/tex] et x2= [tex]\frac{(-10-6+4(\sqrt{-22+60i})}{2}[/tex]

Dernière modification par Eric (02-11-2009 08:42:38)

freddy · 02-11-2009 09:36:04

Eric a écrit :

Bonjour xD ,
[tex]\frac{(x-3i )^2}{(x+2)^2}-\frac{6(x-3 i)}{x+2}+13 = 0[/tex]
[tex]8x^2+(40+24i)\times x + (43+30i) = 0[/tex] donne des racines qui ne marchent pas :
x1=[tex]\frac{-10-6i-\sqrt{-22+60i}}{4}[/tex] et x2= [tex]\frac{-10-6i+\sqrt{-22+60i}}{4}[/tex]

Salut,

tu as raison, ci-dessus les bonne racines !

PS : ça veut dire quoi xD ???

Dernière modification par freddy (02-11-2009 10:34:15)

Eric · 02-11-2009 09:43:14

Re ,

xD ==> c'est une habitude pris sur msn ... (émoticone)

Mais cela ne marche pas comme racines?

Ps: j'ai oublié de simplifier

Dernière modification par Eric (02-11-2009 09:43:56)

freddy · 02-11-2009 09:58:57

re,

je ne comprends pas le sens de la phrase :"ça ne marche pas comme racines" ?

J'ai corrigé tes solutions, il y avait encore une erreur.

Veux tu dire que tu as vérifié dans l'équation simplifiée et que tu ne trouves pas 0 ?

Au passage, je pense qu'il faut que tu détermines la racine de -20+60i, pour simplifier la vérification.

PS : mais cela veut dire quoi au juste xD ?

Dernière modification par freddy (02-11-2009 10:08:42)

Eric · 02-11-2009 10:20:41

Re ,

Je veux dire par la que les racines ne fonctionne pour l'équation du début
Alors que les deux racines de [tex]8\imes x^2+(40+12 i)\times x+(43+36 i) = 0[/tex] sont
[tex]x=\frac {-13}{4}-\frac{-i}{4} et x = \frac {-7}{4}-\frac{5i}{4}[/tex]
Et ces racines fonctionnent.

Ps : xD => il suffit de pencher la tête pour voir que c'est une émoticone comme :) ou :'(

Dernière modification par Eric (02-11-2009 10:30:54)

yoshi · 02-11-2009 10:39:46

Re,

Je confirme, j'avais vérifié, hier soir avant de poster : freddy , l'erreur de calcul est bien chez toi.
[tex](x-3i)^2-6(x-3i)(x+2)+13(x+2)^2=x^2-6ix-9-6(x^2+2x-3ix-6i)+13(x^2+4x+4)[/tex]
D'où
[tex](x-3i)^2-6(x-3i)(x+2)+13(x+2)^2=x^2-6ix-9-6x^2-12x+18ix+36i+13x^2+52x+52[/tex]

Deux erreurs :
* -6ix +18ix = 12ix et non 24ix...
* le 36i est le seul de son espèce...

Et on a bien :
[tex](x-3i)^2-6(x-3i)(x+2)+13(x+2)^2=8x^2+(40+12i)x+43+36i[/tex]

Ce qui donne bien [tex]\Delta=16(5-12i)=[4(3-2i)]^2[/tex]

@+

freddy · 02-11-2009 11:15:53

re,

que la gale m'envahisse, les bras courts et les ongles mous ...

A partir d'un certaine heure, faut débrancher, je confirme.

Bb

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