espérance conditionnelle [Résolu]

marcanlem · 30-10-2009 17:22:09

Bonjour,
Je ne parvient pas à commencer le problème suivant:
Soient [tex]A\scriptstyle{n}[/tex] et [tex]U\scriptstyle{n}[/tex] deux suites indépendantes de variables aléatoires telles que[tex]P(U_n =1 )=P(U_n=-1)=1/2 et A_n[/tex]~exp(1). Soit la suite [tex]X_n[/tex]définie par

[tex]X_{n+1}=A_{n+1} X_{n}+U_{n+1},X_0=0[/tex]

On pose [tex]\mathcal{F}_{n}=\sigma (A_1,U_1,...,A_n,U_n)[/tex]

Que vaut [tex]\mathbb{E}[X_{n+1}| \mathcal{F}_{n}][/tex]?

Pouvez-vous m'aider?
Merci

Dernière modification par marcanlem (30-10-2009 18:11:13)

freddy · 30-10-2009 17:25:28

salut,

merci de bien vouloir réécrire en Latex, c'est illisible !

Bb

freddy · 31-10-2009 21:42:37

Re,

merci pour le code Latex, on voit mieux.

Bon, une piste : on te dit que les deux VAR A et U sont indépendantes entre elles.

Que peux tu dire des VA [tex]A_{p+q}\,\, et \,\, A_{p}[/tex] et de [tex]U_{k+n}\,\, et \,\, U_{k}[/tex] ?

Sont elles identiquement et indépendamment distribuées, par exemple ?

marcanlem · 01-11-2009 09:26:05

bonjour,
Merci pour la piste, je vais y réfléchir...

freddy · 01-11-2009 10:22:55

Re,

Si tu arrives à montrer ces deux indépendances, alors tu vas montrer que :

[tex]E(X_{n+1}/F_n)=E(A_{n+1})\times X_n +E(U_{n+1})[/tex]

et la réponse est immédiate.

Bon courage.

marcanlem · 01-11-2009 14:05:47

Bonjour,
Je pense pouvoir démontrer les indépendances:
On a [tex]\forall{n},A_n\backsim\mathcal{E}(1)[/tex], donc la loi de [tex]A_n[/tex] ne dépend pas de [tex]n[/tex] , d'où [tex]A_{p+q}[/tex] et [tex]A_p[/tex] sont i.i.d.
De plus on a [tex]\forall{n} P(U_{n}=1)=P(U_{n}=-1)=\frac12[/tex] donc la loi de [tex]U_n[/tex] ne dépend pas de [tex]n[/tex] donc [tex]U_{n+k}[/tex] et [tex]U_{k}[/tex] sont i.i.d

freddy · 01-11-2009 14:46:40

RE,

OK, donc conclus maintenant.

marcanlem · 01-11-2009 14:48:39

on a:
[tex]\mathbb{E}[X_{n+1}/\mathcal{F}_{n}]=\mathbb{E}[A_{n+1}X_{n}/\mathcal{F}_{n}]+\mathbb{E}[U_{n+1}/\mathcal{F}_{n}]=\mathbb{E}[A_{n+1}X_{n}]+\mathbb{E}[U_{n+1}]=\mathbb{E}[A_{n+1}]\mathbb{E}[X_{n}]+\mathbb{E}[U_{n+1}][/tex] (d'après une propriété), d'où:
[tex]\mathbb{E}[X_{n+1}/\mathcal{F}_{n}]=\mathbb{E}[A_{n+1}]X_{n}+\mathbb{E}[U_{n+1}]=1X_{n}[/tex]

Je ne suis pas certain est ce que qqn peut confirmer ou pas?
P.S:mon clavier s'est mis en qwerty.

freddy · 01-11-2009 15:18:44

marcanlem a écrit :

on a:
[tex]\mathbb{E}[X_{n+1}/\mathcal{F}_{n}]=\mathbb{E}[A_{n+1}X_{n}/\mathcal{F}_{n}]\times X_n+\mathbb{E}[U_{n+1}/\mathcal{F}_{n}]=\mathbb{E}[A_{n+1}]\times X_{n}+\mathbb{E}[U_{n+1}][/tex](par indépendante des VAR), d'où:
[tex]\mathbb{E}[X_{n+1}/\mathcal{F}_{n}]=\mathbb{E}[A_{n+1}]X_{n}+\mathbb{E}[U_{n+1}]=X_{n}[/tex]
Je ne suis pas certain est ce que qqn peut confirmer ou pas?
P.S:mon clavier s'est mis en qwerty.

Oui, faut juste ajouter :

car [tex]E(A_{n+1}) = 1 \,\, et \,\, E(U_{n+1})=0[/tex]

marcanlem · 01-11-2009 17:00:06

ok,merci bcp pour cette aide.
Ce site est très bien et permet de débloquer pas mal de situation, je vous en remercie.

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espérance conditionnelle [Résolu]

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