des nombres parfaits [Résolu]

Estelle · 31-10-2009 09:27:04

bonjour j'ai cet exercice mais je n'arrive pas a faire la deuxieme partie

1) 28 est il un nombre parfait?

1+2+3+4+5+6+7 = 28

oui c'est un nombre parfait

46 est il un nombre parfait?

1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

non 46 n'est pas un nombre parfait

2)Euclide a démontré que si 2 puissance n - 1 est premier, alors 2 puissance n-1 (2puissance n -1) est un nombre parfait(n est un entier naturel)

trouver un nombre parfait sachant que 31 est un nombre premier

pour les puissances je sais pas l'écrire autrement juste pour dire que apres alors le 2 puissance n-1 est en haut du 2 et entre parenthese c'est 2 avec le n en haut et ensuite -1

yoshi · 31-10-2009 10:16:45

Bonjour,

Question 1.
28 est un nombre parfait, mais ta justification est fausse
Définition : un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs qui lui sont inférieurs.
Tu as écrit 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
Depuis quand 3 et 5 sont-ils des diviseurs de 28 ?
Ensemble des diviseurs de 28 : D(28) = {,1,2,4,7,14}

46. Non 6 et 7 ne sont pas des diviseurs de 45. Autrement dit 45 n'est pas dans la table de 6, ni celle de 7...

Question 2.
Est-ce que la propriété est celle ci :
Euclide a démontré que si [tex]2^n - 1[/tex] est premier, alors [tex]2^{n-1}[/tex] est un nombre parfait (n est un entier naturel) ?

Si oui alors on te donne [tex]31 = 2^n - 1[/tex] d'où tu en tire que [tex]32 = 2^n[/tex]
Maintenant il te faut trouver le nombre n tel que 2^n = 32... Pas bien difficile !
Tu essaies 2^1, 2^2, 2^3.... tu vas tomber très vite sur 32 !
Combien trouves-tu ?

Bon, je réponds à ma question. Tu n'aurais pas pu préciser qu'il y avait une multiplication ?
Donc rappelle-toi :
1. La puissance c'est ^
2. La multiplication c'est *

Tu aurais donc dû écrire : ... 2^(n-1) * (2^n - 1) est un nombre parfait.
Avec l'écriture mathématique, ça devient :
[tex]2^{n - 1}\times(2^n-1)[/tex]
Heureusement que j'ai trouvé la trace de cette propriété, sinon on n'aurait pas beaucoup avancé...
Donc tu sais que 2^n - 1 vaut 31 :
* Combien vaut 2^(n-1)
* Combien vaut [tex]2^{n - 1}\times(2^n-1)[/tex] ?
* Quels sont tous les diviseurs du nombre que tu viens de trouver ?

Et maintenant, fais-en la somme...

@+

PS Serais-tu allée faire un tour sur Wikipedia avant de poster (pour la question 1) ?

Estelle · 31-10-2009 10:39:05

non je ne suis pas allée sur wikipedia

ca fait 31 * (31) = 961

diviseurs de 961 (1,31)

Dernière modification par Estelle (31-10-2009 10:46:21)

yoshi · 31-10-2009 11:00:37

Re,

Et les réponses à la première question qui étaient fausses ?

Ensuite, non

Je t'ai dit :
Puisque [tex]2^n-1 = 31[/tex] alors [tex]2^n = 32[/tex]
Je répète mes questions :
* Combien vaut n ?
* Combien vaut n - 1 ? <--- celle-là, je l'ai rajoutée pour t'empêcher de répondre trop vite à la suivante
* Combien vaut [tex]2^{n-1}[/tex] ?
* Combien vaut alors [tex]2^{n-1}\times (2^n-1)[/tex] ?
* Quelle est la liste des diviseurs du résultat ci-dessus ? (Il y en a 9).

J'attends une réponse à chaque question posée.

@+

Estelle · 31-10-2009 14:20:50

non 2^n vaut 31 d'apres la propriete

c'est pas 31 - 1 ?

Dernière modification par Estelle (31-10-2009 14:21:45)

yoshi · 31-10-2009 15:23:16

Bonjour,

Non !
J'ai écrit (déjà 2 fois !, c'est donc la 3e !).
[tex]2^n-1=31\quad donc \quad 2^n=32[/tex]

Maintenant répond à ces questions et pas à d'autres, s'il te plaît :
* Combien vaut n ? (Précision supplémentaire : n est compris entre 1 et 6, pas plus...)
Dans mon message #2 je t'avais d'ailleurs écrit :

Maintenant il te faut trouver le nombre n tel que 2^n = 32... Pas bien difficile !
Tu essaies 2^1, 2^2, 2^3.... tu vas tomber très vite sur 32 !

* Combien vaut n - 1 ?
* Combien vaut [tex]2^{n-1}[/tex]
* Combien vaut [tex]2^{n-1}\times (2^n-1)[/tex], c'est à dire [tex]2^{n-1}\times 31[/tex] ?
* Quels sont tous les diviseurs (il y en a 9) de ce nombre ?

@+

Estelle · 31-10-2009 17:37:30

n vaut 16

non 2^5 = 32

Dernière modification par Estelle (31-10-2009 17:41:03)

yoshi · 31-10-2009 17:50:10

Bonsoir...

Ouf ! J'ai eu peur...
Oui, n = 5

Maintenant je renouvelle mes questions :

* Combien vaut n - 1 ?
* Combien vaut [tex]2^{n-1}[/tex]
* Combien vaut [tex]2^{n-1}\times (2^n-1)[/tex], c'est à dire [tex]2^{n-1}\times 31[/tex] ?
* Quels sont tous les diviseurs (il y en a 9) de ce nombre ?

@+

Estelle · 31-10-2009 19:43:13

n-1 = 4

2^4 * (31) = 496

diviseurs de 496 (1,2,4,8,16,31,62,124,248)

yoshi · 31-10-2009 19:46:24

Oui,

c'est bon et maintenant tu fais :
1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496.
Donc 496 est un nombre parfait.

Et voilà on écrit : FIN !!! ;-)

@+

Estelle · 01-11-2009 10:46:20

merci

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