Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

Estelle · 28-10-2009 09:15:15

bonjour pourrais t on m'aider pour cet exercice

ABC étant un triangle quelconque une droite (d) coupe les droites (AB), (AC) et (BC) respectivement en I J et K alors on a :

KB/KC * JC/JA * IA/IB = 1 Le but de cet exercice est de démontrer cette propriété

1) tracer un triangle ABC quelconque et une droite (d) coupant (AB) (AC) et (BC) respectivement en I J et K

2) la perpendiculaire passant par A a (d) coupe (d) en A'
la perpendiculaire passant par B a (d) coupe (d) en B'
la perpendiculaire passant par C a (d) coupe (d) en C'

prouver que les droites (AA') (BB') et (CC') sont paralleles

3) montrer que KB/KC = BB'/CC' , JC/JA = CC'/AA' et IA/IB = AA'/BB'

4) Conclure

yoshi · 28-10-2009 09:34:50

Bonjour,

Bien, il serait bon que tu expliques un peu ce que tu as fait. Parce qu'on ne veut pas faire le travail à ta place : ça te servirait à quoi.

1. As-tu fait ton dessin ?

2. La propriété à utiliser a été vue dès la 6e. Ca prend très peu de lignes. Je te remets le nez sur ton énoncé :

la perpendiculaire passant par A à (d) coupe (d) en A'
la perpendiculaire passant par B à (d) coupe (d) en B'
la perpendiculaire passant par C à (d) coupe (d) en C'

Sur ton dessin tu places les angles droits et tu ouvres les yeux

3. Thalès.
Tu regardes à chaque fois le 1er rapport et tu identifies facilement les triangles à utiliser.
Tu as 1 configuration "normale" avec 2 triangles enchâssés (un petit dans un grand) et 2 configurations en "sablier" (ou noeud papillon, comme tu veux)

Présente-nous ton travail, parce que sinon, on ne pourra pas faire plus toi !

@+

freddy · 28-10-2009 10:26:21

Re,

je plussoie yoshi : au début, Estelle nous montrait où elle bloquait ... aujourd'hui, c'st plutôt : merci de faire mon devoir si vous pouvez, moi, je vais dormir.

Allez, zou, Estelle, montre nous ce que tu sais faire, on te fera trouver le reste ensuite ...

...

Estelle · 28-10-2009 11:10:25

voici mon dessin est ce que c'est bon

http://img692.imageshack.us/img692/952/photos0062.jpg

Soient K, I, J trois points alignés appartenant aux cotés (AB) (AC) et (BC) d'un triangle quelconque.

A' le projeté de A sur (IJ) parallelement a (BC). A' est le point d'intersection de (IJ) avec la parallele a (BC) passant par A

Dernière modification par Estelle (28-10-2009 11:30:59)

yoshi · 28-10-2009 11:26:34

Re,

On va dire que dans l'intention, c'est bon...
Dans la réalisation, par contre, tu as une curieuse conception des perpendiculaires, ce qui fait que, même en me forçant, sur ton dessin, je n'arrive pas à croire que les droites(AA'),(BB') et (CC') sont parallèles.
Alors en voilà un autre, il faut juste rajouter les angles droits.

Allez, maintenant, au boulot...

@+

Estelle · 28-10-2009 11:39:13

le dessin c'est mon professeur qui nous l'a fait au tableau

yoshi · 28-10-2009 12:17:11

Salut,

Ce que tu nous montres n'est pas une photo du dessin fait au tableau, mais une photo du dessin que tu as refait à partir du dessin du tableau...
Donc au tableau, les perpendiculaires devaient ressembler à s'y méprendre à des perpendiculaires, parce que :
- soit le dessin (du tableau) a été fait à la règle, à l'équerre et éventuellement au compas et alors les perpendiculaires étaient bien des perpendiculaires,
- soit il a été fait à main levée (c'était mon cas) mais avec suffisamment de soin pour qu'on puisse croire que les droites étaient perpendiculaires...

Là, ton dessin est carrément horrible, tes "perpendiculaires" sont très loin d'en être et il est évident pour n'importe qui que tes "parallèles" vont se couper...

En voilà un autre avec un triangle que j'ai décalqué depuis le tien, une droite (d) à peu près dans la même position, un peu plus inclinée pour qu'elle soit moins proche d'une perpendiculaire à (BC).
Le dessin a été fait à l'écran, les traits sont droits, mais les perpendiculaires ont été tracées "à l'oeil" : ce ne sont pas vraiment des perpendiculaires, mais on peut y croire sans trop de difficulté...

Bon, rassurée, satisfaite ?
Au boulot, donc...

Estelle · 28-10-2009 12:47:48

je l'ai refait

http://img264.imageshack.us/img264/7016/photos0063.jpg

yoshi · 28-10-2009 12:58:59

Re,

Désolé, c'est un peu moins mal, mais tes perpendiculaires n'en sont toujours pas !
As-tu utilisé une équerre pour tracer tes perpendiculaires ? Sûrement que non...
Bon, tu peux utiliser mon dessin, il est suffisamment proche de celui que tu as vu au tableau...
Pour ton devoir il faudra le refaire avec des "vraies" perpendiculaires...

Passons à la question 2.)

@+

Estelle · 28-10-2009 16:27:32

2) si A I et B sont alignés dans cet ordre
si A', I et B' sont alignés dans cet ordre et si on a égalité des rapports : IA/IB = IA'/IB'
alors les droites (AA') et (BB') sont paralleles
de plus on a égalité des trois rapports : IA/IB = IA'/IB' = AA'/BB'

si C', K et B' sont alignés dans cet ordre
si B, K et C sont alignés dans cet ordre et si on a égalte des rapports KB/KC = KB'/KC' alors les droites (BB') et (CC') sont paralleles

et on a égalité de trois rapports : KB/KC = KB'/KC' = BB'/CC'

yoshi · 28-10-2009 16:37:29

Re,

Non ! Toi tu fais le contraire de ce qu'on attend de toi :
TU pars de : les rapports sont égaux et tu conclus les droites sont parallèles, pour en conclure quoi ? Que les rapports sont égaux ?

Alors qu'il est dit
De montrer que les droites sont parallèles (question 2) et d'en déduire (question 3) l'égalité des rapports...

Je t'ai dit que la question 2. pouvait être donnée à un élève de 6e... La règle à utiliser a été vue la première fois dans cette classe.
Pourquoi veux-tu utiliser la réciproque du théorème de Thalès ? Elle se voit en 3e, pas en 6e. Non, c'est bien plus simple que ça. Tu cherches trop compliqué !
Le théorème de Thalès (et pas la réciproque) devra être utilisé dans la question 3.

A quoi a servi que je te mette des mots en caractères gras dans mon message #2 ?
Relis ce message, relis-le bien ! Si tu ne trouves toujours pas, on ren reparle...

@+

Estelle · 28-10-2009 17:47:01

si deux droites sont perpendiculaires a la meme droite alors ces deux droites sont paralleles entre elles

donc A' perpendiculaire a (d) B' perpendiculaire a (d) C' perpendiculaire a (d)

(AA') // (BB') // (CC')

yoshi · 28-10-2009 18:19:45

Salut,

Et bien voilà...
Seulement, il ne faut tout faire en vrac, mais deux droites par deux droites :
[tex](AA')\perp (d)[/tex] |
|> donc (AA') // (BB')
[tex](BB') \perp (d)[/tex] |

Après tu recommences avec (BB') et (CC') et tu conclus (BB') // (CC')

Et enfin :
Si deux droites sont parallèles à la même droite, alors elles sont parallèles entre elles :

[tex](AA') // (BB')[/tex] |
|> donc (AA') // (CC'')
[tex](CC') // (BB')[/tex] |

Et maintenant tu peux dire que 'AA') // (BB') // (CC')...

Tu vois, ce n'était psi compliqué que cela...

Maintenant question 3... Application du théorème de Thalès.

@+

Estelle · 29-10-2009 09:20:43

bonjour si K B C et K B' C' sont alignés et on sait que (BB') et (CC') sont paralleles alors on a :

KB'/KC' = KB/KC = BB'/CC'

si C' A J et C A J sont alignés on sait que (AA') et (CC') sont paralleles alors on a :

JC'/JA' = JC/JA = CC'/AA'

si B I A et B' I A' sont alignés et on sait que (AA') et (BB') sont paralleles alors on a :

IA'/IB' = IA/IB = AA'/BB'

voila j'ai oublié de mettre au début ca nous parle de Ménélaus:Mathématicien grec et il a établit le résultat suivant :

KB/KC * JC/JA * IA/IB = 1 mais je fais quoi avec ca

yoshi · 29-10-2009 09:41:58

Bonjour,

C'est bon. Après avoir parlé de l'alignement des points et rappelé les parallèles, quand tu rédigeras au propre, dis que tu appliques le théorème de Thalès.
Après chaque série de rapports égaux, par exemple KB'/KC'=KB/KC = BB'/CC', ajoute :
Et en particulier : KB/KC = BB'/CC' (tu n'en gardes que deux, ceux que te cite l'enoncé).

Et maintenant, qu'est qu'on fait, dis-tu ?

Réponse : on regarde quel est le but de l'exercice...
Le bit est, je cite, de :

prouver que [tex]{KB \over KC}\times {JC \over JA} \times {IA \over IB}=1[/tex]

Et qu'est-ce qu'on voit ?
* On retrouve à chaque fois le 1er des deux rapports égaux que tu as mis en évidence,
* Il y a des multiplications entre eux : c'est ton point de départ.
* La conclusion est = 1

Tu n'es pas plus avancée ? Mais si ! Tu sais que tu dois faire des multiplications...
Mais alors ça sert à quoi ce qui a été fait avant ?
ET bien :
* Tu as établi que KB/KC pouvait être remplacé par BB'/CC' (puisqu'ils sont égaux),
* Tu as établi que JC/JA pouvait être remplacé par CC'/AA' (puisqu'ils sont égaux)
* Tu as établi que IA/IB pouvait être remplacé par AA'/BB' (puisqu'ils sont égaux)
Puisqu'ils peuvent être remplacés, ces premiers rapports, et si tu les remplaçais ? Tu verrais peut-être bien des simplifications à faire qui te conduiraient à ...= 1/1 = 1

Donc vas-y :

[tex]{KB \over KC}\times {JC \over JA} \times {IA \over IB}={.. \over..}\times {.. \over ..} \times {.. \over ..}=\cdots[/tex]

@+

Estelle · 29-10-2009 17:08:49

re j'avais d'autres devoirs, j'ai fait ceci et donc c'est le 4) conclure ?

KB/KC * JC/JA *IA/IB = BB'/CC' * CC'/AA' *AA'/BB' = 1

yoshi · 29-10-2009 17:14:43

Oui,

Mais je voudrais être sûr que tu as vu pourquoi on obtient 1 à la fin.
Donc, encore un petit effort s'il te plaît, et dis-moi pourquoi avec précision.
Comme ça, si ton prof te disait : << Tiens, Estelle ? Tu as su faire ? C'est très bien ! Maintenant, viens donc au tableau nous expliquer ça ! >> (Je le faisais, faut pas croire que ça ne peut pas arriver !)
Donc, avec ton explication, je serai sûr que si ça t'arrive, tu n'iras pas au tableau en bredouillant...

@+

Estelle · 29-10-2009 17:45:07

il faut simplifier tout sauf AA' et BB' mais je n'y arrive pas je suis perdue

yoshi · 29-10-2009 18:01:01

Ah ! Ah !

J'ai donc bien fait de poser la question.
C'est mieux écrit comme ça, non ?
[tex]{BB'\over CC'}\times {CC' \over AA'} \times {AA' \over BB'}[/tex]

Prends le 1er numérateur, BB', où le vois-tu encore ? Que peux-tu donc faire ?
Prends le 2e numérateur, CC', où le vois-tu encore ? Que peux-tu donc faire ?
Prends le 3e numérateur, AA', où le vois-tu encore ? Que peux-tu donc faire ?

Conclusion ?

@+

Estelle · 30-10-2009 10:57:50

bonjour c'est ca ?

BB'/CC' * CC'/AA' * AA'/BB' = BB' * CC' * AA' /CC' * AA' * BB' = AA' * BB' * CC' / AA' * BB' * CC' = 1

yoshi · 30-10-2009 11:29:28

Oui, c'est bon.

Mais avec ce type d'écriture, mets des parenthèses sinon, ça devient faux :
BB'/CC' * CC'/AA' * AA'/BB' = (BB' * CC' * AA') /(CC' * AA' * BB') = (AA' * BB' * CC' )/( AA' * BB' * CC') = 1

Exemple, si tu tapes à la calculette :
2 * 3 * 4 / 3 * 2 * 4 sans les parenthèses tu n'obtiendras pas 1, mais 64, à cause de la priorité des opérations.
Sans parenthèses, ta machine fait les calculs les uns après les autres dans l'autre, don elle fait :
2 * 3 * 4 --> 24
24/3 --> 8
8 * 2 * 4 --> 64...
Attention donc !

On peut
* Soit tout regrouper comme tu l'as fait et constater que le nouveau numérateur et le nouveau dénominateur sont égaux, ce qui fait que la fraction vaut 1,
* Soit dire qu'on simplifie BB' en haut avec BB' en bas, CC' en faut avec C'' en bas et AA' en haut avec AA' en bas, ainsi que je te l'avais suggéré, ce qui revient au même.

Mais garde donc ta solution, elle a l'air de mieux te convenir, et c'est le plus important ! ;-)

@+

Estelle · 30-10-2009 14:13:49

d'accord merci pour votre aide

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 28-10-2009 09:15:15

Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#2 28-10-2009 09:34:50

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#3 28-10-2009 10:26:21

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#4 28-10-2009 11:10:25

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#5 28-10-2009 11:26:34

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#6 28-10-2009 11:39:13

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#7 28-10-2009 12:17:11

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#8 28-10-2009 12:47:48

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#9 28-10-2009 12:58:59

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#10 28-10-2009 16:27:32

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#11 28-10-2009 16:37:29

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#12 28-10-2009 17:47:01

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#13 28-10-2009 18:19:45

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#14 29-10-2009 09:20:43

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#15 29-10-2009 09:41:58

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#16 29-10-2009 17:08:49

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#17 29-10-2009 17:14:43

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#18 29-10-2009 17:45:07

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#19 29-10-2009 18:01:01

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#20 30-10-2009 10:57:50

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#21 30-10-2009 11:29:28

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

#22 30-10-2009 14:13:49

Re : Thalès : Produit de rapports. [Résolu]

Pied de page des forums