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Léa

Invité

exo groupe de permutation [Résolu]

Bonjour, je me permet de vous soumettre une question d'un exercice ou je bloque:
"Montrer que A5 possède des sous-groupes d'ordre 4"
An étant défini dans le cours comme le groupe alterné n-ème c'est à dire l'ensemble des permutation paires de Sn.

Voici le raisonnement que j'ai eu:
1)je n'ai pas il me semble de propriété qui me permettent d'affirmer l'existence de sous groupe, je me suis donc mise à en rechercher. Je cherche donc des sous-groupe de 4 éléments (ordre 4), déjà pour que ça soit un sous groupe il y a l'identité, ensuite chaque élément doit aussi posséder son inverse.
2)Je crois en avoir trouvé un: {Id, (2143), (4321), (3412)} pouvez vous me confirmer (Id présente, chaque élément est son inverse, à priori conjuguer deux elts ne fais pas sortir de l'ensemble)
3)grrr j'en trouve pas d'autre!

merci de votre aide :-)

Léa

Léa

Invité

Re : exo groupe de permutation [Résolu]

Personne?
je pense avoir trouvé un autre sous groupe d'ordre 4, tout simplement décalant le premier vu qu'on est dans A5:
{Id, (13254),(14523),(15432)}

Quelqu'un pour me confirmer (ou m'infirmer!!)?

merci

Léa

Ps:purée la question anti spam: Quelle est l'année de la bataille de Marignan?
en super historienne que je suis y'a falu que je reg

Léa

Invité

Re : exo groupe de permutation [Résolu]

je disais donc: que je regarde sur google!
;-)

freddy

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Re : exo groupe de permutation [Résolu]

Salut,

my surname is "nobody" ...

Attention, sous groupe d'ordre 4 de signature paire (on est d'accord ?) ...

And the raison why my surname is  "nobody" ? Because nobody is perfect.

Je vais revenir, sauf si Fred a plus de temps que moi.

Léa

Invité

Re : exo groupe de permutation [Résolu]

Salut, attention à quoi?
oui de signature paire, enfin les éléments d'ordre pairs (si j'ai bien compris signature=ordre non?)

freddy

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Re : exo groupe de permutation [Résolu]

Re,

un lien

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ature.html

et une question (pour partager un langage commun) : comment est défini l'ordre d'un groupe et quel est le lien entre son ordre et sa signature ?

(...)

Léa

Invité

Re : exo groupe de permutation [Résolu]

oups pardon j'étais à la masse.

Pour répondre à tes questions:
Ordre d'un groupe: nombre d'éléments dans le groupe=cardinal
Signature d'un élément de Sn je comprend (c'est sa parité, =1si le nombre de perm est pair, =-1 si impaire)
par contre signature d'un groupe je sais pas ce que c'est (donc le lien non plus).

PS: ouf cette fois je passe sans suer le test anti-spam: "Quel est le premier chiffre du nombre pi?" héhé ;-)

Fred

Administrateur

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Re : exo groupe de permutation [Résolu]

Bonsoir Léa,

  Difficile de t'aider sans savoir exactement ce que tu sais.
1. Connais-tu les théorèmes de Sylow? Si oui, la réponse est facile : A5 est de cardinal 60=2^2*15. Il contient donc un sous-groupe d'ordre 2^2.

2. Tu ne les connais pas.... Alors effectivement, il faut en trouver un.
On commence par faire la liste des éléments de A5. Là, je crois que tu confonds ordre et signature. La signature d'une permutation vaut +1 ou -1, et correspond aux nombres de couples d'élements échangés. Elle fait +1 si ce nombre est pair, -1 si ce nombre est impair. Au besoin, relis ton cours ou le lien de Freddy.
Dans A5, il y a donc :
. l'identité
. les 3 cycles
. les 5 cycles
. les produits de 2 transpositions.
Un sous-groupe de A5 de cardinal 4 ne peut pas contenir de 5-cycle, sinon il contiendrait toutes les puissances de ce 5-cycle, et donc au moins 5 éléments.
On essaie avec ce qui reste, et on trouve que ca marche bien avec 3 couples de transposition à support disjoint, et qui sont basés sur les 4 mêmes éléments. Précisément, si tu poses
s1=(1 2)o(3 4)
s2=(1 3)o(2 4)
s3=(1 4)o(2 3)
et G={Id,s1,s2,s3} alors G est un sous-groupe de A5. Tout élément est en effet son propre inverse, et
si tu composes deux des si, tu trouves le troisième (par exemple, s1os2=s3).

Fred.

PS : Si tu t'inscris, tu échapperas à l'anti-spam!

Léa

Invité

Re : exo groupe de permutation [Résolu]

Salut Fred
Merci beaucoup de ta réponse très détaillée, hélas le super théorème n'est pas dans mon cours mais du coup vu que j'ai des sous groupe je peut dire qu'il y en a YESSSS
merci beaucoup

Au sujet de l'anti spam et de l'inscription je voulais vous féliciter, je trouve ça génial les forums sans inscriptions c'est tellement plus simple, mais ça doit pas être tjr évident à gérer, bravo et encore merci