Réduction d'un quadrilatère - Thalès [Résolu]

Estelle · 21-10-2009 17:11:07

bonjour je ne comprends pas la question 2.a

1.a.construire un quadrilatere ABCD et placer un point M a l'interieur comme dans la figure ci dessous

b.joindre M a chacun des sommets A B C et D choisir un point R sur [MA]
construire les points S T et U comme ci dessus de telle maniere que :

(RS) // (AB) (ST) // (BC) et (TU) // (CD)

2.a.tracer la droite (RU)

quelle conjecture peut on emettre pour les droites (RU) et (AD) ?

b. prouver que ce résultat est vrai :

3. on suppose pour cette question que MR/MA = 2/3 et que le quadrilatere ABCD a pour aire 81 cm²

a. prouver que le triangle RSTU est une réduction de ABCD. precisez le rapport de la reduction

b.calculer l'aire du quadrilatere RSTU

on a une petite aide qui nous dit : utiliser la proportionnalité entre les volumes et les masses

freddy · 21-10-2009 21:45:26

Salut,

t'as pas l'intuition que (RU) est // à (AD) ?

yoshi · 22-10-2009 08:36:25

Bonjour,

Rien de mieux à ajouter pour l'instant si ce n'est une petite interrogation.

Ton énoncé est-il complet ?
Probablement non, parce que sinon je ne vois pas l'utilité de l'aide :

on a une petite aide qui nous dit : utiliser la proportionnalité entre les volumes et les masses

En effet, dans l'énoncé dont on dispose, il n'est n'est nulle part question de volume ou de masse !

@+

Estelle · 22-10-2009 14:41:41

bonjour c'est bien l'exercice complet sinon j'ai bien vu que (RU) est parallele a (AD) j'ai marqué ca pour la conjecture :

les points A R M d'une part et D U M d'autre part sont alignés dans le meme ordre d'apres le theoreme de thales les droites (RU) et (AD) sont paralleles.
AR/AM = DU/DM = RU/AD

yoshi · 22-10-2009 17:26:22

Bonjour,

Alors, si c'est bien l'exercice complet, explique-moi ce que viennent faire masse et volume dans l'aide ? A quel endroit de ton exercice parle-t-on de volume et de masse. Pour moi cette aide doit donc dans ce cas se rapporter à un autre exercice.

2. a) Le conjecture est seulement : les droites 'MR) et (DU) sont parallèles.
2. Le prouver
Alors concernant ce que tu as écrit :
1. Il vaut mieux (pour toi) ici écrire les points en partant du point commun.
Donc dire, : Les points M, R, A d'une part et M, U, D d'autre part sont alignés dans le même ordre.
2. Ensuite (et là ça ne va pas) on fait remarquer que les rapports MR/MA et MU/MD sont égaux...
On fait remarquer que : tu dois donc avoir d'abord calculé séparément les rapports MR/MA et MU/MD. Ca n'a pas l'air d'avoir été fait. Si ?
3. Enfin on termine par, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut dire que (RU° est parallèle à (AD).

Il ne me semble pas superflu de faire cette petite mise au point simplifiée.

* On sait (ou on prouve) que des droites sont parallèles. Le théorème de Thalès permet d'écrire des rapports égaux.

* Les points étant placés dans le même ordre (on commence par le faire remarquer),
- on calcule (99,9 fois sur 100) chaque rapport séparément,
- on les compare.
- s'ils sont égaux, on le dit, on dit que c'est la réciproque du théorème de Thalès et on conclut au parallélisme
- s'ils ne sont pas égaux, tu le dis aussi, mais tu ne dis pas que c'est la réciproque (Tu n'en auras jamais l'utilité, mais je te le dis quand même, dans ce cas ce n'est pas la réciproque, mais la contraposée), tu ne dis rien d'autre que : les rapports ne sont pas égaux donc les droites ne sont pas parallèles.

Tu vois la différence avec "ta bouillie pour les chats" ? ;-)

Et j'en termine en reposant ma question : As-tu prouvé que MR/MA = MU/MD ?

@+

Estelle · 22-10-2009 17:48:28

mince pour l'aide je me suis trompée de chapitre c'est pour le 2.b. on pourra utiliser le theoreme de thales a trois reprises puis sa réciproque pour conclure

yoshi · 22-10-2009 17:58:18

Re,

Alors, as-tu utilisé le théorème de Thalès à trois reprises ?
Il faut utiliser successivement les triangles AMB, BMC et CMD.
Dans chacun de ces triangles, il faut appliquer le théorème de Thalès (puisqu'il y a ses parallèles données par l'énoncé) et écrire 2 rapports égaux (le 3e, celui des longueurs des segments portés par les parallèles, ne te seront d'aucune utilité et de plus, pour vérifier si la réciproque du th. de Thalès va pouvoir s'appliquer ou pas, on ne les utilise jamais).
Tu vas donc obtenir 3 séries de rapports égaux avec chaque fois un rapport en commun.
Regarde bien et conclus...

@+

Estelle · 22-10-2009 18:18:31

pour la conjecture vous dites que les droites (MR) et (DU) sont paralleles vous vous etes pas trompe?

yoshi · 22-10-2009 18:31:11

Oui,

Tu avais rectifié de toi-même, c'est (MR) et (DA).
Voilà ce que c'est que d'écrire "comme un cochon" : même pas fichu de me relire correctement...

Désolé !

@+

Estelle · 22-10-2009 18:37:10

je comprends pas calculer les rapports de de MR/MA et MU/MD

Estelle · 22-10-2009 18:52:50

il est déja tard et j'ai rien compris je laisse tomber la j'en ai marre

yoshi · 22-10-2009 19:07:44

Re,

Nan, nan, nan !
Estelle, tu ne vas quand même jeter le bébé avec l'eau du bain ?
Regarde (c'est tout ce qu'il y à faire) :
Je prends le triangle AMB
Dans ce triangle R est sur [MA], S est sur [MB], et comme, par hypothèse (=l'énoncé dit que) (RS) //(AB), alors d'après le théorème de Thalès, on a les rapports égaux suivants :
MR/MA = MS/MB

Tu recommences avec le triangle BMC
(tu y retrouves le rapport MS/MB précédent)
...................
Tu recommences une 3e et dernière fois avec le triangle CMD
..............................
(tu y retrouves le rapport MT/MC précédent)

Tu as 3 séries de 2 rapports égaux, regarde-les bien, que peux-tu conclure ?
Tiens je t'aide :
supposes que tu as 4 nombres k, l, m, n et que tu sais que :
k = l
l = m
m = n

Quelle conclusion tires-tu pour ces 4 nombres k, l, m et n et en particulier pour k et n ?

@+

Estelle · 22-10-2009 19:28:11

oui j'en conclus que les 4 sont egaux

yoshi · 22-10-2009 19:45:54

Re,

Coucou, te revoilà, c'est bien....
Et tu vois, ce que tu as été capable de faire pour ces 4 nombres, et bien tu n'auras qu'à le refaire avec :
MR/MA = MS/MB
MS/MB = MT/MC
MT/MC = MU/MD

Ensuite une fois que tu as montré MR/MA = MU/MD, tu appliques (correctement) la procédure avec la réciproque du théorème de Thalès et ta démonstration est finie...
Là tu avais affaire à un cas particulier (les 0,1 % restant) où on compare MR/MA et MU/MD sans les calculer.

Je vais abréger (un petit peu) la suite, parce que là, tu satures et tu dois avoir envie de passer à autre chose, ce que je peux comprendre.

Question 3. Si tu veux montrer que le quadrilatère (et pas triangle) RSTU est une réduction du quadrilatère ABCD, il te faut te servir de chacun des 3e rapports qu'on a mis e côté :
RS/AB, ST/BC, TU/CD et UR/DA tous égaux entre eux puisque égaux aux précédents (utilisés au dessus) et que ces autres le sont aussi (égaux et à 2/3)
RS/AB = ST/BC = TU/CD = UR/DA = 2/3
C'est donc une réduction de coefficient k = 2/3.

Pour la suite, ta leçon te dit que si le coefficient de réduction des longueurs, k, est 2/3, celui des aires k² = 4/9 (et celui des volumes k^3 = 8/27). Ca c'est du cours et pas besoin de justifier donc, juste le signaler.

@+

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