Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mélissa-m

Membre

Inscription : 18-09-2009

Messages : 30

Besoin d'aide pour polynôme [Résolu]

Bonjour,voila un exercice que j'ai fais en classe et qu'on a corrigé mais je ne comprends pas les différentes étapes. J'aurais donc besoin de votre aide s'il vous plait pour comprendre car j'ai un contrôle ce lundi. Merci d'avance.

Ex 1:
Soit h la fonction définie par h(t)= [tex]-{t}^{2}+t+3[/tex] pour t [tex]\in \,\mathcal{R}[/tex]
Trouver 3 nombres réels k, a et M tels que pour tout t [tex]\in \,\mathcal{R}[/tex],on dit h(t)= [tex]k{\left(t-a\right)}^{2}+M[/tex]

correction:
Mettons [tex]k{\left(t-a\right)}^{2}+M[/tex] sous forme réduite:
On a [tex]k{\left(t-a\right)}^{2}+M[/tex]= [tex]\left(-1\right)\times {t}^{2}+\left(1\right)\times t+\left(3\right)[/tex]
= [tex]\left(k\right){t}^{2}+\left(-2ka\right)t+\left(a2+M\right)[/tex]          (je ne comprends pas cette étape)
pour tout t.

Donc il faut que:
k=1                   
-2ka=1
[tex]{a}^{2}+M=3[/tex]

En effet, 2 fonctions polynôme sont égales si et seulement si tous leurs coefficient sont égaux. (je ne comprends pas cette conclusion)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : Besoin d'aide pour polynôme [Résolu]

Bonjour,

C'est ce qu'on appelle identifier...
Si tu as ax²+bc+c = -2x²+3x+5, et que ce doit être toujours vrai, tu ne peux que conclure
a=-2, b=3 et c = 5.
Si tu mets une autre valeur pour b, par exemple par 4, tu ne peux pas avoir
-2x²+4x+5 = -2x²+3x+5 toujours vrai...
Donc pour pouvoir identifier, tu es bien obligée de développer, réduire et ordonner selon les puissances décroissantes de t, ton polynôme :
[tex]k(t-a)^2+M = k(t^2-2at+a^2)+M=kt^2-2akt+ka^2+M = (k)t^2+(-2ak)+(ka^2+M)[/tex]
et présenter la fonction de la même façon (pour éviter les erreurs de signe notamment) :
[tex]-t^2+t+3=(-1)t^2+(+1)t+(+3)[/tex]
De cette façon tu écris que les coeff. correspondants sont égaux :
     k = -1
-2ak = +1
a²+M = +3

Pigé ?

@+

Mélissa-m

Membre

Inscription : 18-09-2009

Messages : 30

Re : Besoin d'aide pour polynôme [Résolu]

Ce ne serait pas plutôt  [tex]a{x}^{2}+bx+c[/tex] au lieu de  [tex]a{x}^{2}+bc+c[/tex]
Et je ne comprend pas également votre développement qui me parait très compliqué et qui n'est pas tous a fait le même que celui de mon prof que je ne comprends aussi :  [tex]k{\left(t-a\right)}^{2}+m=k\left({t}^{2}-2at+{a}^{2}\right)+M=k{t}^{2}-2akt+k{a}^{2}+m=\left(k\right){t}^{2}+\left(-2ak\right)+(ka^2+M)[/tex]
Est une identité à connaître par cœur?

Dernière modification par Mélissa-m (27-09-2009 11:05:21)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : Besoin d'aide pour polynôme [Résolu]

Salut,

Oui, j'ai fait une faute de frappe... C'est bien ax²+bx+c

Le développement de (t-a)² est bien sur à connaître : c'est un des 3 produits remarquables qu'o,n apprend en 3e :
(a + b)² = a² + 2ab +b²
(a - b)² = a² - 2ab +b²
(a + b) (a - b) = a² - b²
A cause de la priorité des opérations (puissance avant multiplication), on développe d'abord (t-a)² et on utilise la distributivité de x sur + pour multiplier le résultat obtenu par k.
Mon développement n'est pas compliqué, j'ai fait la même chose que ton prof en détaillant un peu plus : j'ai également corrigé quelques fautes de frappe : j'étais pressé.
Toutes mes excuses...
Tu peux contrôler.

C'est bon ?

@+

Mélissa-m

Membre

Inscription : 18-09-2009

Messages : 30

Re : Besoin d'aide pour polynôme [Résolu]

Oui,j'avais compris la première étape: [tex]k{\left(t-a\right)}^{2}+m=k\left({t}^{2}-2at+{a}^{2}\right)+M[/tex]
Mais c'est avec la suite que j'ai du mal:
pour la deuxième étape: [tex]k{t}^{2}-2akt+k{a}^{2}+M[/tex].
Est ce que avec [tex]k{t}^{2}-k2at+k{a}^{2}+M[/tex] sa marche également ou pas ?

Et pour la troisième étape, je ne comprend vraiment plus rien car je ne comprend pas comment on fait pour passer de la deuxième étape à la troisième: [tex]k{t}^{2}-2akt+k{a}^{2}+M=\left(k\right){t}^{2}+\left(-2ak\right)+\left(k{a}^{2}+M\right)[/tex]
Et d'ailleurs, cette troisième étape m'a l'air différente de celle proposé par mon prof qui est:
  [tex]\left(k\right){t}^{2}+\left(-2ka\right)t+\left({a}^{2}+M\right)[/tex].

Merci d'avance.

Dernière modification par Mélissa-m (27-09-2009 12:09:00)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : Besoin d'aide pour polynôme [Résolu]

Salut,

Oui, bien sûr ça marche également...
Simplement en algèbre pour éviter de futurs possibles ennuis, on a coutume d'écrire 2akt et non a2kt, un produit de facteurs étant indépendant de l'ordre de ses facteurs. Mais écrire a2kt, c'est prendre un jour le risque d'écrire, parce qu'on est pressé et qu'on n'a pas très bien présenté : a²kt et là, boum !
Je le sais bien, je l'ai vu de nombreuses fois...

Exact, c'est différent, mais tu as dû mal recopier, même si ton prof a pu faire une erreur : nul n'est infaillible !

Si je développe k(t²-2at + a²), j'obtiens bien ka² - 2akt+ka². Le dernier terme ka² est indépendant de t et on le retrouve après à la fin avec M : ka²+M et non a²+M
D'où :
k = -1
-2ak = 1 donc -2a * (-1) = 1 d'où 2a = 1 et a = 1/2
Et enfin ka²+M = 3 soit [tex](-1)\times\left({1 \over 2}\right)^2+M = 3[/tex] ou encore [tex]-{1 \over 4}+M = 3[/tex]
Enfin :
[tex]M = 3+{1 \over 4}={13 \over 4}[/tex]

Questions ?
Je vais être absent une paire d'heures...

@+

PS
Que j'écrive ...-2akt ou ...+(-2aktk) ne change rien change rien c'est juste une façon de présenter : ainsi tu écris, lorsqu'il n'y a plus que des + devant les parenthèses, que les coefficients correspondants entre parenthèses sont égaux.
On procède ainsi pour que vous évitiez les fautes de signes : avec l'habitude, vous n'aurez plus besoin de ces parenthèses...

Mélissa-m

Membre

Inscription : 18-09-2009

Messages : 30

Re : Besoin d'aide pour polynôme [Résolu]

merci j'ai compris.
Mais j'aurai également besoin d'aide pour la forme canonique:

f(x)= [tex]-2{x}^{2}+3x+3[/tex] 

On a [tex]f\left(x\right)=\left(-2\right)\left({x}^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\right)[/tex]

1ère étape:on factorise le différent de degré 2:(a-2).

On a  [tex]{x}^{2}-\frac{3}{2}x={\left(x\right)}^{2}-2\times \left(x\right)\times \left(\frac{3}{4}\right)[/tex]

On a écrit les 2 premiers termes sous la forme  [tex]{a}^{2}-2ab[/tex]

Donc  [tex]{x}^{2}-\frac{3}{2}x={x}^{2}-2\times \left(x\right)\times \left(\frac{3}{4}\right)+{\left(\frac{3}{4}\right)}^{2}-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{2}={\left(x-3\right)}^{2}-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{2}[/tex]

donc  [tex]f\left(x\right)=\left(-2\right)\times \left({\left(x-\frac{3}{4}\right)}^{2}-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{2}-\left(\frac{3}{4}\right)\right)[/tex]

Donc  [tex]f\left(x\right)=\left(-2\right){\left(x-\frac{3}{4}\right)}^{2}+\left(-2\right)\times \left(-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{2}\right)+\left(-2\right)\times \left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-2\right)\left(\left(x-{\frac{3}{4}}\right)^{2}-\frac{9}{16}-\frac{3}{2}\right)[/tex]
[tex]f(x)=(-2)\left[\left(x-{\frac{3}{4}}\right)^{2}-\frac{33}{16}\right][/tex]

C'est la forme canonique du trinôme du second degré.

J'aurai besoin d'aide s'il vous plaît pour comprendre les différentes étapes car malgré les explication du prof je ne comprend pas.Et je souhaiterai savoir si il existe un développement plus simple. Merci d'avance pour votre aide.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : Besoin d'aide pour polynôme [Résolu]

bonsoir,

Il y aura plus simple, mais ce travail est un passage obligé pour établir la formule du "discriminant" dont tu te serviras alors.

Je peux te raconter ça un (tout petit) peu différemment, j'ai pu constater que ça passait mieux...
Donc, si te dis : je te présente le début du développement incomplet du carré d'une différence, complète-le et donne la forme factorisée
[tex]x^2-{3 \over 2}x...[/tex]
Tu raisonnes ainsi :
x c'est le carré de x tout court, le terme suivant est le double produit  [tex]{3 \over 2}x[/tex] soit 2ab.
Le produit simple ab est donc :  [tex]{3 \over 4}x[/tex] et donc comme a c'est x, b est donc forcément 3/4...
Mon carré d'une différence est donc  [tex](x-{3 \over 4})^2[/tex].
Le développement complet :  [tex](x-{3 \over 4})^2 = x^2-{3 \over 2}x +{9 \over 16} [/tex]. (9/16 est le carré de 3/4, c'est b²).
Ensuite, et c'est là le tour de passe passe, maintenant tu dis : mais moi, je ne veux que les deux premiers termes du développement. Pas le 3e ! Alors, c'est simple, tu le changes de membre :
[tex](x-{3 \over 4})^2 - {9 \over 16}= x^2-{3 \over 2}x [/tex]
Et maintenant, tu remplaces :
[tex]f(x)=-2\left(x^2-{3 \over 2}x - {3 \over 2}\right)=-2\left[\left(x-{3 \over 4}\right)^2-{9 \over 16} - {3 \over 2}\right][/tex].

La même chose avec des lettres :
[tex]f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x^2+{b \over a}x+{c \over a}\right)=a\left[\left(x-{b \over{2a}}\right)^2-{b^2 \over {4a^2}}+{c \over a}\right]=a\left[\left(x-{b \over{2a}}\right)^2-{{b^2-4ac} \over {4a^2}}\right][/tex]
ET c'est de cette quantité b² - 4ac, appelée discriminant dont tu te serviras...

@+

[EDIT]
Ca : 
[tex]f\left(x\right)=\left(-2\right){\left(x-\frac{3}{4}\right)}^{2}+\left(-2\right)\times \left(-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{2}\right)+\left(-2\right)\times \left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-2\right)\left(\left(x-{\frac{3}{4}}^{2}\right)-\frac{9}{16}-\frac{3}{2}\right)[/tex]
[tex]f(x)=\left(-2\right)\left({\left(x-\frac{3}{4}\right)}^{2}\right)=\frac{33}{16}[/tex]

C'est incorrect, il faut écrire :
[tex]f\left(x\right)=\left(-2\right){\left(x-\frac{3}{4}\right)}^{2}+\left(-2\right)\times \left(-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{2}\right)+\left(-2\right)\times \left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-2\right)\left(\left(x-{\frac{3}{4}}^{2}\right)-\frac{9}{16}-\frac{3}{2}\right)[/tex]
[tex]f(x)=(-2)\left[{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^{2}-\frac{33}{16}\right][/tex]