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krist

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Inéquation trinôme (1ère S) [Résolu]

Boujour/Bonsoir/Salut à tous ceux qui liront ce message

Voilà, mon souci réside cette fois dans un exercice sur lequel la leçon ne donne pas (ou peu) d'explications. Je m'explique :

Un exercice me demande de résoudre des inéquations trinôme du genre :

1/2x² + 3x - 8 > 0

J'ai tenté de résoudre de manière "instinctive", c'est-à-dire déduire à première vue la solution mais malheureusement, ça ne m'est d'aucun secours.

... et la leçon ne me propose rien d'autre ! Bizarre...

Bref, je souhaiterais une petite mise sur la voie s'il vous plait. :)

Merci/Thank you/Danke schön/Muchas gracias à ceux qui m'aideront.

Dernière modification par krist (20-09-2009 11:27:21)

yoshi

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Re : Inéquation trinôme (1ère S) [Résolu]

Bonjour krist,

De retour ?
Procéder de manière instinctive ? Boufre ! Pourquoi pas, à condition qu'il y ait des solutions évidentes.
Mais ce cas de figure se présentera 10 fois sur 100...

De toutes façons, pour tempérer mes propos, ton instinct ne te trompe pas : tu as besoin de factoriser le trinôme ax²+bx+c, donc de connaître ses racines x' et x".
Tout polynôme ax²+bx+c ayant des solutions peut s'écrire a(x -  x')(x - x").
Il sera de signe de a à l'extérieur des racines, du signe opposé à a entre les racines.
As-tu vu la recherche des solutions d'un trinôme du second degré par le calcul (et l'utilisation) du discriminant ?
Si oui, alors la voie à suivre est toute tracée...

Si non, il faut chercher à factoriser autrement et vu qu'il n'y a pas, à première vue de solution évidente, je procéderais ainsi (c'est comme ça qu'on met en évidence la formule du discriminant :
[tex]{1\over 2}x^2 + 3x - 8 >0 \Leftrightarrow x^2+6x-16 >0[/tex]
Je considère les 2 premiers termes comme le développement de x²+6x auquel on a enlevé le carré de 3 : [tex]x^2+6x - 16>0 \Leftrightarrow (x+3)^2-9-16 >0[/tex]
Soit encore :
[tex]{1\over 2}x^2 + 3x - 8 >0 \Leftrightarrow (x+3)^2-25 >0[/tex]
Or, 25 = 5² : on a donc une différence de 2 carrés qu'on va factoriser classiquement :
[tex]{1\over 2}x^2 + 3x - 8 >0 \Leftrightarrow (x+8)(x-2) >0[/tex]

Petit additif : si ton trinôme n'a qu'une solution, c'est une solution double ; ton trinôme est le carré d'une somme algébrique, il est positif quel que soit x.

Si ton trinome ax²+bx+c n'a pas de solution (c'est le cas de [tex]{1\over 2}x^2 + 3x+ 8[/tex], par exemple), il sera du signe de a quel que soit x.

Et maintenant, il n'y a plus qu'à...

@+

[EDIT] Dave m'a suggéré de modifier mon additif :

Petit additif : si ton trinôme n'a qu'une solution, c'est une solution double ; ton trinôme est le carré d'une somme algébrique, il est positif quel que soit x.

Je vais donc préciser :
Petit additif : si ton trinôme n'a qu'une solution, c'est une solution double ; ton trinôme est le carré d'une somme algébrique, il est positif quel que soit x différent de  x1 = solution.
Dans le cas où ce trinôme s'écrirait sous la forme a(x - x1)² (avec a réel non nul), il serait bien évidemment du signe de a quel que soit x différent de x1.[/i]

Dernière modification par yoshi (21-09-2009 07:25:12)

krist

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Re : Inéquation trinôme (1ère S) [Résolu]

Fichue leçon !

Ca disait en titre solution de l'équation au second degré f(x)=0, c'est pour ça que je n'avais pas envisagé de faire de cette manière.
Les profs devraient peut-être plus attentifs des fois...

Merci à toi, yoshi et à la prochaine peut-être. ;)

yoshi

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Re : Inéquation trinôme (1ère S) [Résolu]

Salut,

Fichue leçon !

Ca disait en titre solution de l'équation au second degré f(x)=0,...

Oui, d'acoord, "Les profs devraient peut-être plus attentifs des fois... Cependant en l'occurence, là ça va un peu de soi quand même, à condition de ne pas rester "le nez dans le guidon".
En effet, quelle est la différence entre une équation du second degré et une inéquation du second degré ?
La 1ere a, généralement (mais il arrive qu'elle n'en ait qu'une ou pas du tout), deux solutions, une inéquation du second degré en a (généralement aussi dans |D, Q ou |R) une infinité répartie en un ou deux intervalles.
Généralement encore, cet (ces) intervalles ont des bornes qui sont les solutions du trinôme...
C'est pour cela que l'étude des équations du 2nd degré se fait avant celle des inéquations du 2n degré : les secondes dépendent des premières.
En Collège, tu as bien appris à résoudre des équations avant les inéquations, tu te servais de la recherche des solutions vues avec les équations pour résoudre lesdites inéquations...

Ca t'aurait vraiment avancé que le titre soit,  par exemple : Solutions de l'équation et de l'inéquation du 2nd degré ?

@+

thadrien

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Re : Inéquation trinôme (1ère S) [Résolu]

Ta fonction est continue. Cela implique qu'elle passe par 0 si elle change de signe. Or, elle ne vaut 0 qu'en deux points. Son signe est donc constant entre ces deux points.

C'est pour cela que l'on résout les inéquations comme les équations correspondantes.

yoshi

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Re : Inéquation trinôme (1ère S) [Résolu]

Oui,

Mais je doute fort qu'on parle de continuité en 1ere S  (en fait, j'en suis même sûr) !

@+