Polynôme 1S [Résolu]

Mélissa-m · 18-09-2009 17:14:51

Bonjour, j'aurai besoin d'aide, s'il vous plait, pour ces deux exercices que je ne comprend pas . Merci d'avance.

Exercice 1:
Dans chaque cas, trouver des polynômes P et Q vérifiant les conditions données.

1) Degré de P=2; degré de PQ=4 et degré de P+Q=1
2) P et Q sont de degré 3, leur somme est une constante non nulle.
3) Degré de PQ=5, la somme P+Q s'annule en 0, mais ni P ni Q ne s'annulent en 0.

Exercice 2:
Déterminer les réels a,b et c tels que, pour tout x différent de 0,-3 et 2, on ait:

[tex]\frac{12x\,+\,6}{x\left(x\,+\,3\right)\,\left(2\,-\,x\right)}=\,\frac{a}{x}+\frac{b}{x+3}+\frac{c}{x-2}[/tex]

freddy · 18-09-2009 17:42:34

Bonjour Mélissa,

Pour l'exo 2, il faut que tu ramènes le membre de droite de l'équation au même dénominateur .

Ensuite, tu identifies termes à termes (le coeff en x² est 0, le coeff en x est égal à 12 et la constante est égale à 6). Tu vas trouver un système de 3 équations à trois inconnues à résoudre => valeur des constantes a, b et c.

Pour l'exo 1 souviens toi que le degré d'un polynôme est égal à la puissance la plus élevée de x.

Pex, x² et x² - 10 ou -x² + 25 sont trois polynômes de degré 2.

Ainsi, on a :P(x) = ax² + bx + c avec a non nul.

Pour le 1 - 1

Si d°(PQ) = 4, cela signifie que Q(x) = a'x² + b'x+ c' avec a' non nul puisque la multiplication des polynômes => addition des puissances.

Si d°(P+Q) = 1 => P(x) + Q(x) = (b+b')x + (c+c') avec b+b' non nul => a+a' = 0.

Pour le 1 - 2, si P et Q sont de degré 3 et leur somme P(x)+Q(x) = C constante non nulle, cela signifie que les coefficient des termes de degré 1, 2 et 3 sont chacun l'opposé de l'autre.

Pour le 1 - 3 , c'est encore plus simple car quel que soit P(x), P(0) = le terme constant, indépendant de x.

Donc si d°(PQ) = 5, P(x) = C non nul, Q(0) = C' non nul ET P(0) + Q(0) = 0 => C+C' = 0.

Si tu ne me comprends pas, yoshi devrait mieux t'expliquer.

Dernière modification par freddy (20-09-2009 09:20:56)

freddy · 18-09-2009 18:04:14

Re,

Une piste :

Exercice 2:
Déterminer les réels a,b et c tels que, pour tout x différent de 0,-3 et 2, on ait:

[tex]\frac{12x\,+\,6}{x\left(x\,+\,3\right)\,\left(2\,-\,x\right)}=\,\frac{a}{x}+\frac{b}{x+3}+\frac{c}{x-2}[/tex]

[tex]12x + 3 = (x+3)(x-2)\times a + x(x-2)\times b + x(x+3)\times c[/tex]

Peux tu finir l'ouvrage ?

thadrien · 18-09-2009 18:11:53

Pour l'exercice 2, tu peux procéder comme ceci :

* Multiplier par x de chaque côté puis évaluer en 0. Cela donne ... = a.
* Multiplier par x + 3 de chaque côté puis évaluer en -3. Cela donne ... = b.
* Multiplier par 2 - x de chaque côté puis évaluer en 2. Cela donne ... = c.

Cette technique servira de manière intensive après le Bac.

Mélissa-m · 18-09-2009 19:11:03

merci freddy et thadrien, j'essaye de comprendre et je vous tiendrais au courant demain.

yoshi · 18-09-2009 20:02:46

Bonjour,

Bienvenue sur BibM@th...
Il n'y a rien de plus à ajouter à ce qu'a dit freddy...
La procédure donnée est claire :
[tex]0x^2+12x + 3 = (x+3)(x-2)\times a + x(x-2)\times b + x(x+3)\times c[/tex]

Tu développes et tu réduis ton deuxième membre, tu factorises les x², puis les x...
Puis tu devras identifier ce qui signifie écrire que :
* les coefficients de x² dans un membre et dans l'autre sont égaux
* les coefficients de x dans un membre et dans l'autre sont égaux
* les termes indépendants dans un membre et dans l'autre sont égaux.
Et en principe, tu en termineras par la résolution d'un système de 3 équations à 3 inconnues : a, b, c.

La procédure est classique est fréquente, il faudra t'en souvenir !

@+

Mélissa-m · 19-09-2009 19:05:12

Bonsoir,pour l'exo 1,1:
j'ai écris:
P(x)= [tex]2{x}^{2}+5x+1[/tex]
Q(x)= [tex]-2{x}^{2}+3x+12[/tex]

Est ce correct pour p et q ?

Ensuite, je ne comprend pas Freddy lorsque vous dites que "Si d°(P+Q) = 1 => P(x) + Q(x) = (b+b')x + (c+c') avec b+b' non nul =>a+a' = 0."Je ne comprend pas pourquoi a+a' = 0 alors qu'il demande P+Q=1

yoshi · 19-09-2009 19:45:28

Bonsoir,

Oui ça va.

freddy t'avait écrit que P(x) +Q(x) = (a + a')x² + (b+b')x + c + c'
Pour que le degré de P+Q soit 1, il faut bien que P(x) + Q(x) soit un binôme du premier degré, autrement que le terme en x² n'existe pas, donc que son coefficient soit nul, donc que a + a' = 0.

Ce qui est bien le cas pour 2 + (-2) avec les polynômes que tu donnes.

@+

Mélissa-m · 19-09-2009 20:17:36

ok donc si je comprend bien c'est:
P(x) +Q(x)= (2+(-2)) [tex]{x}^{2}[/tex] +(5+3)[tex]x[/tex]+1+12
= 0[tex]{x}^{2}+\,8x\,+13[/tex]
est ce que je peux laisser mon résultat tel quel ou dois-je conclure en disant bien que P+Q=1?

Autre chose,pour PQ=4, est ce que je dois multiplier P par Q ou juste laisser Q(x)= [tex]-2{x}^{2}+3x+12[/tex]?
Si je dois multiplier P par Q,pourriez vous me mettre sur la voie pour le calcul car je ne sais pas trop comment faire ?
merci d'avance.

yoshi · 19-09-2009 21:15:27

Salut,

C'est tout bon.
Tu peux écrire : [tex]P(x)+Q(x)=8x+13[/tex]
Et conclus, s'il te plait non pas que P + Q = 1 ce qui est faux mais que le degré est bien 1.

Degré (P(x)Q(x)) = degré (P(x)) * degré Q(x)) = 2 * 2 = 4
Tu peux justifier en multipliant P(x) par Q(x) :
[tex](2x^2+5x+1)(-2x^2+3x+12)=-4x^4+6x^3+24x^2-10x^3+15x^2+60x-2x^2+3x+12=\cdots[/tex]
C'est du développement classique, le produit de 2 sommes : on multiplie chaque terme de la 1ere somme par chaque terme de la seconde, et on additionne les résultats...
Il est inutile de réduire, puisque dès ce stade on voit que le degré de P(x).Q(x) est bien 4...

Ca te va ?

@+

Mélissa-m · 19-09-2009 21:34:02

oui, merci Yoshi ça me va. Par contre j'ai du mal à comprendre, même avec les explications de Freddy, les différentes étapes que je dois faire pour pouvoir répondre à la question 1-2 et 1-3. Merci d'avance.

Dernière modification par Mélissa-m (19-09-2009 22:34:07)

yoshi · 20-09-2009 09:36:37

Bonjour,

Je vois que dans le feu de l'action, nous avons oublié de te souhaiter la bienvenue sur BibM@th... Oubli réparé ;-)

Exercice I 2).
C'est la même idée que I 1), un peu plus généralisée, et plus simple
P(x) = ax^3 + bx² + cx + d
P'(x) = a'x^3 + b'x² + c'x + d'
D'où P'(x)+Q'(x) = (a+a')x^3 n+ (b+b')x² + (c+c')x + (d+d')
Maintenant, raisonnons. Que dit l'énoncé ?
P et Q sont de degré 3, leur somme est une constante non nulle.
Qu'est-ce qu'une constante ?
Un nombre précis, mais dont ici on n'a pas besoin de connaître la valeur.
Donc un terme de degré 0. Pourquoi ?
Parce que le terme (a+a')x^3 dépend de la variable x x, : degré 3,
Parce que le terme (b+b')x^2 dépend de la variable x x, : degré 2,
Parce que le terme (c+c')x^1 dépend de la variable x x, : degré 1.
Peut-être diras-tu : oui, mais pourquoi d + d' est-il de de degré 0 ? Et bien d + d' peut aussi s'écrire (d + d')x^0.

En conclusion, a, a', b, b', c, c' doivent être tels que P(x)+Q(x) = d+d'.

Vois-tu la condition à poser sur a+a', b+b', c+c' ?
Ensuite pour d et d' tu devras simplement les choisir tels que [tex]d + d' \not = 0[/tex]

Exercice I 3)
C'est un peu la même idée encore, mais je vais faire varier légèrement mon approche.
Degré de PQ = 5.
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 5 + 0.
Tu as donc 3 choix possibles :
- Un polynôme de degré 3 et un polynôme de degré 2,
- Un polynôme de degré 4 et un polynôme de degré 1
- Un polynôme degré 5 et un polynôme de degré 0.
On va opter (c'est un choix personnel), pour la première possibilité.

P(x)+Q(x) s'annule pour x = 0.
P(x) et Q(x) sont de cette forme générale :
[tex]P(x)=\cdots+h\;et\;Q(x)=\cdots+h'[/tex]
(Ce qu'il y a à la place des pointillés ne m'intéresse pas pour l'instant.)
On a P(0)=h et Q(0) = h'. Vois-tu pourquoi ?
L'énoncé demande [tex]P(0)\not = 0[/tex] et [tex]Q(0)\not = 0[/tex]
Conclusion pour h et h' séparés ?
Mais, on doit avoir [tex]P(0)+Q(0)=0[/tex].
Conclusion pour [tex]h+h'[/tex] ?

Maintenant que tu connais les conditions pour h, h', h+h', à toi de choisir en conséquence deux polynômes P et Q tels que P(x)=ax^3+h et Q(x)=b'x^2+h', par exemple.
J'ai choisi les deux formes les plus simples possibles, mais tu peux tout à fait opter pour :
P(x)=ax^3+bx²+cx+h et Q(x) = b'x²+cx+h', tant que tu respectes les conditions posées sur h, h' et h+h'..

C'est bon ?

@+

freddy · 20-09-2009 09:38:33

Bonjour,

Pour la question 1-2, imaginons [tex]P(x) = 3x^3-2x^2+4x-1[/tex]

Il faut trouver [tex]Q(x) = ax^3+bx^2+cx+d[/tex] tel que

[tex]P(x) + Q(x) = 3x^3-2x^2+4x-1 +ax^3+bx^2+cx+d = C (\not = 0)[/tex]

Tu identifies à nouveau les coefficients correspondants aux [tex]x^3\, x^2\, x^1\,\, et\,\, x^0[/tex] soit :

3+a = 0
-2 + b = 0
+4+c = 0
et
-1+d non nul et tu déduis :

a = -3
b=2
c=-4
et
d différent de 1

Tu as ainsi trouvé un exemple de polynômes qui satisfont la contrainte P+Q = constante non nulle.

Exemple :
[tex]Q(x) = -3x^3+2x^2+-4x+8[/tex]

Pour le 1 - 3, inventes deux polynômes P (de degré 3) et Q (de degré 2) par exemple

[tex]P(x) = x^3+8x^2-5x+ 2[/tex]
[tex]Q(x) = x^2 - 8x -2[/tex]

Pose ensuite x = 0 dans les deux polynômes, tu auras P(0) et Q(0).

On a P(0) = 2 et Q(0) = -2

et P(0)+Q(0) = 0

[EDIT] grillé par yoshi

Mélissa-m · 20-09-2009 12:40:17

Bonjour et merci pour votre aide.
J'ai donc écris :

ex 1-2:

P(x)= [tex]3{x}^{3}-2{x}^{2}+4x-1[/tex]

Q(x)= [tex]-3{x}^{2}+2{x}^{2}-4x+8[/tex]

P(x) +Q(x)= [tex]\left(3+\left(3\right)\right){x}^{3}+\left(-2+2\right){x}^{2}+\left(4-\left(-4\right)\right)x+\left(-1+8\right)[/tex]

P(x) +Q(x)=9

Conclusion:P+Q=constante non nulle (différent de 0)

ex1-3:
P(x)= [tex]{x}^{3}+8{x}^{2}-5x+2[/tex]
Q(x)= [tex]{x}^{2}-8x-2[/tex]

P(x) x Q(x) = [tex]\left({x}^{3}+8{x}^{2}-5x+2\right)\left({x}^{2}-8x-2\right) [/tex]
= [tex]{x}^{5}-8{x}^{4}-2+8{x}^{4}-64{x}^{3}-16{x}^{2}-5{x}^{3}+40{x}^{2}+10x+2{x}^{2}-16x-4[/tex]
Donc degré de PQ=5

P(0)=0+0-0+2
P(0)=2

Q(0)=0-0-2
Q(0)=-2

P(0)+Q(0)=2-2=0

Conclusion: La somme P+Q s'annule bien en 0 mais ni P ni Q ne s'annulent en 0.

Est ce correct ou y a t-il des choses à modifier dans ma rédaction pour pouvoir mieux répondre aux questions de l'énoncé? Merci d'avance

Dernière modification par Mélissa-m (21-09-2009 09:28:13)

yoshi · 20-09-2009 13:09:26

Salut,

Juste une broutille à rectifier dans le développement :
[tex]{x}^{5}-8{x}^{4}-2+8{x}^{4}-64{x}^{3}-16{x}^{2}-5{x}^{3}+40{x}^{2}+10x+2{x}^{2}-16x-4[/tex]
3e terme : -2x^3 et non -2...

Sinon, R.A.S.

@+

Mélissa-m · 20-09-2009 13:19:20

ok merci

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