Caractérisation du triangle rectangle

dave · 12-09-2009 16:34:36

Dans un triangle ABC l'angle A vaut x degrés et l'angle C vaut kx.
La médiane BM sur AC partage l'angle B dans le même rapport, c'est=à-dire que l'angle ABM vaut y degrés et l'angle MBC=ky.
Il faut démontrer que le triangle est rectangle en B.
On peut supposer k>1, car si k<1 on change k en 1/k. De plus, si k=1 l'angle B n'est pas forcément droit.
J'ai une démonstration de cet exercice qui utilise les variations de la fonction sin(kx)/sinx, mais je suppose que l'on peut trouver une démonstration élémentaire.
Merci.

freddy · 12-09-2009 18:31:18

Salut,

yoshi devrait pouvoir t'expliquer cela de manière géométrique, je vais le faire de manière analytique.

On sait que la somme des angles d'un triangle doit être égale à un angle plat, soit

[tex]x + kx + y + ky = (1+k)(x+y) = \pi[/tex]

C'est ce qu'on va montrer.

Soient z l'angle AMB et z' l'angle CBM. La somme vérifie :

[tex]z+z' = \pi[/tex]

or on a :

[tex]x+y =z- \pi\,\,\,et\,\,\, kx+ky =z'- \pi[/tex]

On déduit [tex]z+z' = \pi\,\,\,et\,\,\,z+z' = 2\pi-(1+k)(x+y)[/tex]

soit [tex](1+k)(x+y) = \pi[/tex] donc on a bien à faire à un triangle.

...

[EDIT] Après, il faut s'appuyer sur la loi des sinus (classe de première), cf infra.

Dernière modification par freddy (15-09-2009 13:49:26)

dave · 12-09-2009 18:53:44

Salut Freddy,
De la dernière ligne il ne découle pas que k=1 mais que z = k(x+y), que l'on savait déjà.
De plus, si k=1 comme l'exercice l'indique, le triangle ABC n'est pas forcément rectangle (par exemple A=40º, C=40º et B=100º).

Merci quand même !
Dave

freddy · 12-09-2009 19:45:30

Oui, j'ai vu, je dois plus me concentrer, je fais trop de choses en même temps.

Tschüss

yoshi · 12-09-2009 20:11:45

Bonsoir,

Bienvenue sur BibM@th, Dave...
Une piste géométrique "élémentaire" ? Ouh, va falloir que je réfléchisse, parce que je ne vois rien d'aussi évident que ça...
La seule idée, que je vais creuser (sans succès peut-être), mais je subodore qu'il y aurait quand même des calculs est celle-ci :
<< Si dans un triangle ABC, la médiane [BM] relative au côté [AC] est telle que BM = AC/2, alors ce triangle est rectangle en B.>>
Théorème de 4e.

Maintenant ainsi que je l'ai dit, est-ce que ça va donner qq ch, wait and see...

@+

yoshi · 12-09-2009 21:12:49

Re,

Rien d'évident...
J'ai essayé de montrer que x = y...
J'ai essayé de montrer que l'angle BMC = 2x (angle au centre = 2 angle inscrit)
J'ai essayé de ruser en construisant le parallélogramme BAB'C de centre M...
Rien ! Nada...

Je vais persévérer et j'essayerai aussi de raisonner par l'absurde. Mais ce soir je suis pessimiste...
La nuit porte conseil dit-on.

@+

yoshi · 13-09-2009 09:09:33

Salut,

La nuit a porté conseil et le début de matinée aussi. Je suis arrivé à la conclusion (provisoirement ?) définitive que ce n'est pas possible par des moyens classiques.

En effet, quel est "le seul" apport (au niveau propriétés) du fait que [BM] soit une médiane ? Pas grand chose sinon que MA = MC.
Quelle influence cela a-t-il sur les angles ? Aucune avec des moyens classiques.

Exemple.
Je fais abstraction de lac médiane et prends M quelconque sur ]AC[.
Prenons k = 2 et angle B = 60°. Alors y = 20° et ky = 40°
Reste 120° pour A et C. D'où x = 40° et kx = 80°. Jusque-là, rien d'extraordinaire...
Maintenant plaçons M au milieu de [AC]. Qu'est-ce que ça change et/ou infirme dans les calculs précédents que MA = MC ? Rien !

Au passage, rien n'interdit non plus que k = 1. Avec x=y = 45°, le triangle est rectangle.

Donc qu'est-ce que cela induit de plus que MA = MC ?
Que les aires des triangles ABM et CBM sont égales.
Alors, j'ai quitté le classisisme et suis allé voir du côté d'Al Kashi qui a le mérite de lier AM à l'angle y et CM à l'angle ky. Ca ne me donne pas de choses bien probantes et de toutes façons, on sort du cadre fixé par Dave..

J'arrête les frais, mais je reviendrais au cas où...

@+

freddy · 13-09-2009 09:24:20

Bonjour,

dave a écrit :

Dans un triangle ABC l'angle A vaut x degrés et l'angle C vaut kx.
La médiane BM sur AC partage l'angle B dans le même rapport, c'est-à-dire que l'angle ABM vaut y degrés et l'angle MBC=ky.
Il faut démontrer que le triangle est rectangle en B.
On peut supposer k>1, car si k<1 on change k en 1/k. De plus, si k=1 l'angle B n'est pas forcément droit.
J'ai une démonstration de cet exercice qui utilise les variations de la fonction sin(kx)/sinx, mais je suppose que l'on peut trouver une démonstration élémentaire.
Merci.

Pourrais tu svp nous donner cette démonstration ?

x et y ne seraient ils pas fonction de k ? Quelles sont les contraintes sur k ? Sommes nous bien d'accord sur l'implication à établir : si le rapport des angles MBC/MBA = k = BCA/CAB, alors le triangle ABC est rectangle en B ?

Merci d'avance.

dave · 13-09-2009 13:18:10

Salut ¨¤ Yoshi et Freddy et merci encore pour l'attention et les essais,
Voici la d¨¦monstration utilisant analyse et trigo (d¨¦signons AM=MC=m et BM=a):
Dans le triangle AMB on a m/siny = a/sinx et dans BMC m/sin(ky) = a/sin(kx) et de l¨¤: sin(kx)/sinx = sin(ky)/siny.
Pour d¨¦montrer que x=y on montre que la fonction sin(kx)/sinx est strictement d¨¦croissante dans ]0,¦Ð/(2k)[. C'est facile: sa d¨¦riv¨¦e est n¨¦gative et s'annule pour x=0. Donc x=y et les triangle ABC est rectangle.
Dave

dave · 13-09-2009 13:47:47

Salut à Yoshi et Freddy,
Désolé, j'espère que le message est lisible malgré les accents tarabiscotés (j'utilise un clavier qwerty).
Il manquait les calculs de la dérivée que vous pourrez compléter de vous mêmes.
Dave

dave · 14-09-2009 06:45:23

Salut Freddy,
Rapport à tes dernières remarques:
Oui bien sûr, x et y dépendent de k, de plus x+y = 180/(k+1) (parlons degrés).
Une seule contrainte sur k: kest un réel supérieur à 1.
L'implication à établir est bien ce que tu as écrit.
J'ai réussi à démontrer le théorème dans les cas spéciaux k=3 et k=2 (démonstrations géométriques).

Est-ce que l'on peut dessiner sur les messages de bibm@th? ou insérer un document?
Dave

yoshi · 14-09-2009 07:35:51

Salut,

dave a écrit :

Est-ce que l'on peut dessiner sur les messages de bibm@th? ou insérer un document?

Oui, bien sûr ! Il suffit d'écrire l'url de ton image entre les tags img ouvrant et fermant.
Tu peux faire héberger tes images chez imageshack.us, photobucket.com et autre hébergeurs d'images gratuits...

@freddy : j'avais cherché à établir que x = y, seule façon de prouver que le triangle BAM (ou BCM) est isocèle en M, donc que BM = AC/2. Mais je n'ai pas réussi. J'ai aussi établi que [tex](k+1)(x+y)=\pi[/tex] ce qui s'est révélé insuffisant.

@Dave
j'avais oublié l'égalité des rapports côté/sinus... J'ai creusé cette piste.
J'ai pu effectivement facilement établir que sin x/sin y = sin kx /sin ky.
Sans passer par "ta" dérivée, je n'arrive pas à exploiter ce résultat remarquable... Mais je désespère pas !

@+

freddy · 14-09-2009 12:18:44

Hi,

voici un bon récapitulatif http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle

J'aurais dû commencer par relire ces points !

dave · 14-09-2009 19:27:42

Salut Freddy,
Il est évident que x=y est équivalent à ABC est droit car, si x=y, alors la médiane BM=AM=BC/2 et le triangle ABC est rectangle.
La source de cet exercice est simplement la réciproque du théorème suivant, facile à établir:
Si un triangle ABC est rectangle alors la médiane BM sur l'hypoténuse partage l'angle B en deux angles proportionnels aux angles A et C (mesures des angles). Dans ce cas bien sûr, les angles sont non seulement proportionnels, mais égaux.

freddy · 14-09-2009 23:04:05

dave a écrit :

Salut Freddy,
Il est évident que x=y est équivalent à ABC est droit car, si x=y, alors la médiane BM=AM=BC/2 et le triangle ABC est rectangle.
La source de cet exercice est simplement la réciproque du théorème suivant, facile à établir:
Si un triangle ABC est rectangle alors la médiane BM sur l'hypoténuse partage l'angle B en deux angles proportionnels aux angles A et C (mesures des angles). Dans ce cas bien sûr, les angles sont non seulement proportionnels, mais égaux.

Salut dave,

je pense que tu écris une "bêtise" : si ABC est rectangle en B, alors BM partage l'angle B en deux angles tels que :

l'angle ABM = l'angle BAM,

et l'angle MCB = l'angle MBC.

Il est nul question de proportionnalité, sinon les triangle ABM et MBC ne seraient plus isocèles, et ABC ne serait plus rectangle en B.

De plus, si, comme tu l'écris, l'exo est la démonstration facile de la réciproque du théorème que tu cites avec une légère erreur, pourquoi ne nous donnes tu pas cette démonstration ? Je pense que tu intéresseras plus d'un lecteur.

A bientôt de te lire.

Dernière modification par freddy (15-09-2009 13:51:37)

dave · 15-09-2009 10:33:11

Salut Freddy,
Sache que 4 nombres égaux 2 à 2 comme (30,30,60,60) sont aussi proportionnels.
Il est clair que la médiane BM sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle le partage en deux triangles isocèles et que la réciproque de ce théorème est vraie aussi.
Maintenant si l'on ne sait pas que les 4 angles formés par la médiane sont égaux respectivement, mais seulement proportionnels, est-ce que le triangle est rectangle ou non ?
La réponse que je donne est OUI ! avec la démonstration (analyse et trigo) que j'ai donnée sous forme concise.
La question que je pose au forum est "Existe-t-il une démonstration élémentaire (géométrique)?".
NB: Freddy, tourne 7 fois tes doigts sur le clavier avant d'écrire "bêtise" etc...
Sans rancune mon cher, seule la vérité compte.
Dave

yoshi · 15-09-2009 12:19:46

Salut,

Existe-t-il une démonstration élémentaire (géométrique) ? A cette question, je pense pouvoir répondre non...
J'ai encore ou établir que sin(x+y) = sin(180/(k+1)) ce qui ne m'avance pas plus...

Il a été clair pour moi dès le début qu'il fallait arriver à montrer que x = y.
Avec les méthodes élémentaires de géométrie, je ne vois vraiment pas comment.
Si Barbichu passe par là et qu'il y a une solution de ce type, je suis certain qu'il la trouverait...

Concernant votre différent à freddy et toi :
- il est vrai que l'égalité est un cas (très particulier) de proportionnalité où le coeff de proportionnalité est 1
- mais ta formulation fait plus que me me chiffonner. Si j'appelle B1 et B2 les angles ABM et CBM, et M1 et M2 les angles BMA et BMC. Annoncer que la médiane détermine 4 angles proportionnels, c'est dire que si B2 = k.B1 alors M2 = k.M1 ce qui est gênant puisque [tex]\widehat{M_1} = 2kx\quad et \quad \widehat{M_2}= 2x\quad[/tex] : là, c'est M1 = k.M2. Bien sûr on peut intervertir les notations M1/M2, mais il n'empèche que les angles du triangle ACM ne sont pas proportionnels à leurs homologues du triangle ABM.

@+

freddy · 15-09-2009 13:48:38

'jour,

en fait, ce sont les relations métriques dans un triangle quelconque ( en particulier le quotient d'un côté sur le sinus de l'angle opposé) qui permettent d'établir que x = y. Cf. loi des sinus dans http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sol … n_triangle.

Il n'y a rien d'autre à dire de plus sur le sujet.

Bye

Dernière modification par freddy (16-09-2009 15:50:01)

dave · 15-09-2009 14:05:48

Salut Yoshi,
Exact: les angles en M sont dans le rapport 1/k.
D'ailleurs les trois angles de 2 triangles ne peuvent pas être proportionnels à moins que le rapport soit 1 (puisque la somme des angles est 180º) et les triangles sont alors semblables.
Merci quand même à toi et à Freddy de vous être penchés sur la question (qui reste ouverte jusqu'à ce que quelqu'un trouve une solution).
Dave

freddy · 15-09-2009 14:55:41

Re,

je pense qu'il faudrait rediriger ce sujet dans la rubrique "casse têtes, énigmes et ..."

dave a écrit :

Maintenant si l'on ne sait pas que les 4 angles formés par la médiane sont égaux respectivement, mais seulement proportionnels, est-ce que le triangle est rectangle ou non ?
La réponse que je donne est OUI ! avec la démonstration (analyse et trigo) que j'ai donnée sous forme concise.
La question que je pose au forum est "Existe-t-il une démonstration élémentaire (géométrique)?".

Voilà comment il eût fallu touner la question. Et mon point de vue est : la seule réponse élémentaire est celle de ta concise démonstration.

Quand on nous demande de l'aide, on suppose que t'es vraiment dans le "bain", donc on vole à ton secours.

En l'espèce, il s'agit de savoir si on peut trouver une approche que tu n'as pas trouvée : on est dans un autre état d'esprit, on passe plus de temps à chercher ... car il n'y a pas vraiment d'urgence.

Je suis bien d'accord avec toi, seule la vérité compte, à condition que la question soit bien formulée et postée au bon endroit.

Dans tous les cas, tu restes le bienvenu.

Dernière modification par freddy (16-09-2009 15:49:02)

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Caractérisation du triangle rectangle

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