Calcul de déterminant de matrice [Résolu]

milie · 07-09-2009 22:18:57

Bonsoir tout le monde !

C'est encore moi (j'en suis désolée mais en ce début d'année scolaire, j'ai besoin qu'on me mette en confiance).
J'ai donc fait un exo sur le calcul de déterminant et je me demandais si c'était juste ou pas :

1) Calculer le déterminant de la matrice A = (a i,j)∈ Mn (R) dont les coefficients diagonaux sont nuls et dont les autres sont tous égaux à x.
2) Calculer le déterminant de la matrice A = (a i,j)∈ Mn (R) définie par les relations suivante : pour tout i∈ {1,...,n}, a i,i = 0 , pour tout k ∈ {2, ..., n}, a 1,k = a k,1 = 1 , et tous les autres coefficients de A sont égaux à x.

Pour ma part, je n'ai réfléchit que sur le 1) (j'entamerai le 2) quand je saurai si le 1) est juste ou pas, les indications sont toujours la bienvenue)
Ce que j'ai fait :

1) une opération élémentaire sur les colonnes : Cj <- Cj - Cj-1 pour j > ou = 2
2) un développement par rapport à la 1ere ligne
3) C2 <- C2 - C1
4) un développement par rapport à la 1ere ligne
5) C2<- 2*C2
6) un développement par rapport à la 1ere colonne

A ce moment, je remarque que si je continue à développer par rapport à la 1ere colonne, j'obtiens toujours la même matrice mais avec un ordre chaque fois plus petit et j'en conclus que le déterminant vaut (-1)^n * 2*x^n
Ai-je confirmation?

J'espère que je n'effraie personne avec la longueur de ce post (Quelqu'un va t-il me lire ? :'( )
Sur ce, bonne soirée
A toute

Dernière modification par milie (07-09-2009 22:20:53)

freddy · 08-09-2009 06:02:45

milie a écrit :

Bonsoir tout le monde !
C'est encore moi (j'en suis désolée mais en ce début d'année scolaire, j'ai besoin qu'on me mette en confiance).
J'ai donc fait un exo sur le calcul de déterminant et je me demandais si c'était juste ou pas :
1) Calculer le déterminant de la matrice [tex]A = (a_{i,j}) \in M_n[R][/tex] dont les coefficients diagonaux sont nuls et dont les autres sont tous égaux à x.
2) Calculer le déterminant de la matrice [tex]A = (a_{i,j}) \in M_n[R][/tex] définie par les relations suivante : [tex]\forall i \in \{1,...,n\}, a_{i,i} = 0, \,\,\, \forall k \in \{2, ..., n\}, a_{1,k} = a_{k,1} = 1[/tex] , et tous les autres coefficients de A sont égaux à x.
Pour ma part, je n'ai réfléchi que sur le 1) (j'entamerai le 2) quand je saurai si le 1) est juste ou pas, les indications sont toujours les bienvenues)
Ce que j'ai fait :
1) une opération élémentaire sur les colonnes : [tex]C_j \leftarrow C_j - C_{j-1},\,\,\, j \geq 2[/tex]
2) un développement par rapport à la 1ere ligne
3) [tex]C_2 \leftarrow C_2 - C_1[/tex]
4) un développement par rapport à la 1ere ligne
5) [tex]C_2\leftarrow 2\times C_2[/tex]
6) un développement par rapport à la 1ere colonne
A ce moment, je remarque que si je continue à développer par rapport à la 1ere colonne, j'obtiens toujours la même matrice mais avec un ordre chaque fois plus petit et j'en conclus que le déterminant vaut [tex](-1)^n\times 2x^n[/tex]
Ai-je confirmation?
J'espère que je n'effraie personne avec la longueur de ce post (Quelqu'un va t-il me lire ? :'( )
Sur ce, bonne soirée
A toute

Salut,

tu vois qu'on te lit et qu'on te lie. J'ai un peu codé en LaTex, si tu pouvais le faire désormais, ce serait bien pour toute la communauté silencieuse qui te lit. C'est très facile à apprendre (je m'y suis mis il y a peu je trouve le code bien conçu).

On te revient pour les indications !

(...)

Dernière modification par freddy (08-09-2009 06:56:45)

freddy · 08-09-2009 08:48:07

Re,

pour n=3 on a [tex]Det(A) = 2\times x^3[/tex].

C'est donc faux, désolé.

thadrien · 08-09-2009 09:58:38

Salut,

Une idée pour commencer :

- Tu fais C1 = somme de C2 à Cn
- Tu factorise C1 par (n-1)

Ensuite, ça devrait aller mieux.

Hadrien

freddy · 08-09-2009 15:08:33

Re,

je formule une autre idée : Manifestement, A = x. M avec M formée de 0 sur la diagonale principale et de 1 ailleurs.

Donc [tex]Det(A) =x^n\times Det(M)[/tex]

Reste donc à calculer det(M), qui est un poil plus facile, car tu manipules les colonnes (ou lignes) de telle façon qu'à chaque fois, il te reste une ligne où il n'y a qu'un 1, le reste étant égal à 0. Et tu vois le résultat.

Courage.

Dernière modification par freddy (21-09-2009 22:36:20)

freddy · 08-09-2009 18:08:10

Re,

dernière indication : sauf erreur, tu dois trouver :

[tex]det(A) = (-1)^{n-1}\times (n-1)\times x^n[/tex]

(...)

Dernière modification par freddy (21-09-2009 22:38:21)

milie · 09-09-2009 16:15:48

Rebonjour tout le monde !
je vais essayer de faire comme le suggère Thadrien.

j'ai juste une question concernant le calcul des déterminants : est-ce que je peux faire des opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes ?
ou alors si j'en ai fait sur les lignes (par exemple), je me retrouve condamnée à ne faire des opérations élémentaires que sur les lignes ?

Et pour pouvoir factoriser par n-1, il faudrait pas faire plutôt C1 = somme de C1 à Cn ?

EDIT : Je pense avoir la réponse à ma question : (à priori, je peux faire les 2, mais sans les mélanger il me semble).
Sinon j'ai effectivement trouvé la même chose que Freddy :
voilà comment j'ai fait :

1) je remplace la 1ere colonne par C1 + C2 + ... + Cn
2) je soustrait la 1ere ligne à toutes les lignes (Lj <- Lj - Lj-1 pour j >1)
3) je développe par rapport à la 1ere colonne

du coup, je me retrouve avec (n-1)x * det (-x* In-1)
et je conclus!

j'attaque donc le 2e calcul : les indications sont toujours la bienvenue !
Et merci Thadrien et Freddy (c'est toujours les mêmes à ce que je vois) :)
PS: désolé Freddy, j'apprendrai une prochaine fois pour LaTex

Dernière modification par milie (09-09-2009 16:57:38)

freddy · 09-09-2009 17:56:45

Salut,

TB Milie, tu cherches et tu trouves, c'est très bien. Sur cette page d'entraide pour le supérieur, nous sommes nombreux à aider, les plus forts étant Fred (le créateur du site, un prof universitaire) et Barbichu (ENS et agrégé, très astucieux). Yoshi (le modo ferox) traine aussi ici, mais est en très fort soutien pour le collège lycée (prof de maths, jeune retraité !). Quand on ne trouve pas, on fait appel à fred et à Barbichu. S'ils ne trouvent pas, on se met à chercher dans tous les sens la solution (ou on montre qu'il n'y en a pas), car nous sommes tous des passionnés .

Sinon, tu peux bouger lignes OU colonnes, mais pas les deux à la fois (pb de base de l'EV !)

Bis bald

Dernière modification par freddy (09-09-2009 18:02:28)

milie · 09-09-2009 18:15:56

merci pour ce petit topo Freddy :)

Sinon, pour revenir à l'exo, on voit que c'est encore un problème symétrique (je me rappelle que notre prof nous conseillait justement d'essayer de garder cette symétrie) et on retrouve également, le 1er déterminant.
J'aimerais bien jouer avec ces 2 remarques, mais le problème avec ce genre d'exo, si on a pas la petite astuce, on y arrive pas :(

Dernière modification par milie (09-09-2009 18:22:26)

freddy · 24-09-2009 18:15:09

Bonsoir,

je sais que c'est un peu tardif, mais voilà une piste. Je modifie chaque colonne de la matrice M, à partir de la seconde, de la manière suivante :

[tex] \forall i \in [2, n] \,\,\, C_i \leftarrow C_i - C_n [/tex].

La première ligne est nulle, sauf le dernier terme qui vaut 1. En développant à partir de lui, il faut calculer le déterminant de la matrice carrée M' de dimension p (=n-1) dont les coefficients vérifient :

[tex] \forall i \in [1,p] \,\,\,a_{i,1} = 1, \,\,\, \forall i \in [2,p-1],\,\,\, a_{i,i} = -x, \,\,\, et \,\,\ \forall j \in [2,p] \,\,\, a_{p,j}=x[/tex]

Donc on a [tex] Det(M) = (-1)^{n+1}det(M') [/tex].

On transforme M' de la manière suivante :

[tex] L_p \leftarrow \sum_{i=1}^{p} L_i[/tex] et on développe par rapport au seul terme non nul, celui de la ligne p et de la colonne 1. Remarquons que la mineure qui y est attachée est une matrice diagonale de terme constant - x (p-2 fois) !

On trouve donc :

[tex] det(M) = (-1)^{2n+1}(n-1)(-x)^{n-2} = (-1)^{n-1}(n-1)x^{n-2}[/tex] qui n'est pas le même que celui de la précédente matrice (fort heureusement).

QED

Rappels : dans le premier exo, la matrice A était de la forme :

[tex]A = \begin{pmatrix} 0 & x & x & \cdots & x \\ x & 0 & x & \cdots & x \\ x & x & 0 & \cdots & x \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ x & x & \cdots & x & 0 \end{pmatrix} [/tex]
et celle du second exo est égale à :

[tex] M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & x & \cdots & x \\ 1 & x & 0 & \cdots & x \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 1 & x & \cdots & x & 0 \end{pmatrix} [/tex]

Dernière modification par freddy (25-09-2009 22:06:56)

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