Forum de mathématiques - Bibm@th.net

milie

Membre

Inscription : 04-09-2009

Messages : 7

Résolution d'une équation [Résolu]

Bonjour tout le monde !
J'ai un exercice auquel je ne vois pas du tout comment démarrer :
il faut résoudre l'équation suivante d'inconnue X ∈ Mn (R) :

X + Tr(X) A = B où (A,B) ∈ Mn(R)²

Je voudrais juste avoir quelques remarques ou suggestions pour pouvoir commencer.
Merci beaucoup.
Bonne soirée

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Résolution d'une équation [Résolu]

Salut,

  Voici le début d'une méthode bourrin.

  Si on note [tex]A=(a_{i,j})[/tex], [tex]B=(b_{i,j})[/tex] et [tex]X=(x_{i,j})[/tex],
tu écris l'équation coefficient par coefficient et tu obtiens, pour tout couple (i,j),

[tex]x_{i,j}+(x_{1,1}+\dots+x_{n,n})a_{i,j}=b_{i,j}[/tex]
J'appelle cette équation [tex]E_{i,j}[/tex].

Si tous les [tex]a_{i,j}[/tex] sont nuls, c'est facile, X=B.
Sinon, on peut toujours supposer que [tex]a_{1,1}\neq 0[/tex].

Alors, si on fait [tex]a_{1,1}E_{i,j}-a_{i,j}E_{1,1}[/tex], on obtient

[tex]a_{1,1}x_{i,j}-a_{i,j}x_{1,1}=a_{1,1}b_{i,j}-a_{i,j}b_{1,1}[/tex]

Ca permet d'exprimer tous les [tex]x_{i,j}[/tex] en fonction de [tex]x_{1,1}[/tex],
et en retournant à [tex]E_{1,1}[/tex], de déterminer [tex]x_{1,1}[/tex],
puis toute la matrice X.

Fred.

milie

Membre

Inscription : 04-09-2009

Messages : 7

Re : Résolution d'une équation [Résolu]

Bonjour Fred, votre méthode me semble effectivement bien compliquée et malheureusement hors de mon niveau.
Cependant, ce que j'ai essayé, c'est d'appliquer la trace aux 2 côtés de l'égalité pour déduire Tr(X)

J'obtiens donc Tr(X) = Tr(B) / (1+ Tr(A) )

d'où X= B - A*Tr(B) / (1+ Tr(A) )
Est-ce juste ?
(si oui, que se passe-t-il si Tr(A) = - 1 ?)

Dernière modification par milie (06-09-2009 15:43:49)

thadrien

Membre

Lieu : Grenoble

Inscription : 18-06-2009

Messages : 526

Site Web

Re : Résolution d'une équation [Résolu]

Salut,

Si Tr(A) = -1, tes égalités n'ont aucun sens car on ne peut diviser par 0. Elles sont justes sinon.

Par contre, X = Y => Tr(X) = Tr(Y), mais pas l'inverse. Il te faudra donc vérifier que ton X est bien solution de l'équation de départ.

milie

Membre

Inscription : 04-09-2009

Messages : 7

Re : Résolution d'une équation [Résolu]

Si Tr(A) = -1, tes égalités n'ont aucun sens car on ne peut diviser par 0. Elles sont justes sinon.

C'est où je voulais en venir.
Mais du coup avec ma méthode, je ne résoud l'équation qu'à moitié ! Est-cce que je peux conclure en disant que Tr(A) doit être différent de -1 ? :)

Sinon, je ne vois pas où vous voulez en venir avec l'implication citée

Dernière modification par milie (06-09-2009 18:22:02)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Résolution d'une équation [Résolu]

Bonsoir,

la méthode de Fred est bonne et simplissime. Sa modestie naturelle la lui fait qualifier de "bourrin", je dirai que c'est l'enfance de l'art, car il n'y a pas plus simple. Je développe sa pensée.

Soit [tex]m(x) = Tr(X)[/tex]

Pour chaque équation [tex]E_{i,i}[/tex], on a :

[tex]x_{i,i} + m(x) \times a_{i,i} = b_{i,i}[/tex]

En sommant sur i, on a :

[tex]m(x) + m(x)\times Tr(A) = Tr(B)[/tex] soit pour Tr(A) différent de -1 :

[tex]m(x) = \frac{Tr(B)}{1+Tr(A)} = \alpha[/tex] et donc :

[tex]x_{i,j} =b_{i,j} -\alpha\times  a_{i,j}, \,\,\forall (i,j) \in [1, n]^2[/tex] soit finalement :

[tex]X = B - \alpha A[/tex]

Si Tr(A) = -1, il n'y a pas de solution a priori.

That's all.

Dernière modification par freddy (06-09-2009 21:55:04)

thadrien

Membre

Lieu : Grenoble

Inscription : 18-06-2009

Messages : 526

Site Web

Re : Résolution d'une équation [Résolu]

Sinon, je ne vois pas où vous voulez en venir avec l'implication citée

Tu as démontré que si X était une solution, X valait tant. Tu n'as pas démontré que la valeur obtenue était bien une solution de l'équation de départ. Il est en effet facile de rajouter des solutions dans ce type de problème.

Petit contre-exemple :

Soit l'équation [tex]\sqrt{- 1 - 2 x} = x[/tex].
Je passe les deux membres au carré : [tex]- 1 - 2 x = x^2[/tex].
Je passe tout du même côté : [tex]x^2 + 2 x + 1 = 0[/tex].
Je résous par les méthodes classiques : [tex]x = -1[/tex].
Pourtant, ce n'est pas une solution de l'équation de départ ! En effet, entre la première et la seconde étape, on a une implication mais pas une équivalence.

milie

Membre

Inscription : 04-09-2009

Messages : 7

Re : Résolution d'une équation [Résolu]

Bonsoir tout le monde !
j'ai finalement compris Thadrien (je suis un peu lente je l'avoue).
Il faut que je cogite un peu plus sur l'exo mais je suis un peu trop fatiguée là.
Merci à tous pour vos réponses.
Bonne nuit tout le monde

EDIT: J'ai repris l'exo et fait à ma manière : tout marche, même la vérification. Bref tout va bien, merci à vous

Dernière modification par milie (07-09-2009 20:39:43)