Convergence en loi de v.a. [Résolu]

granfada · 07-07-2009 16:48:21

Bonjour,
j'ai un peu de mal avec la convergence en loi (ou en distribution) que je n'ai pas beaucoup l'habitude d'utiliser.

Et j'ai à ce sujet quelques questions ...

Si [tex] a_n \stackrel{L}\to a [/tex] et [tex] b_n \stackrel{L}\to b [/tex], à quelles conditions a-t-on [tex] a_n+b_n \stackrel{L}\to a+b [/tex] ? Comment le démontrer ?

Si [tex] a_n [/tex] ne converge pas en loi et [tex] b_n \stackrel{L}\to b [/tex], comment prouver que la somme [tex] a_n+b_n [/tex] ne converge pas non plus en loi ?

Merci d'avance.

GF

freddy · 07-07-2009 16:54:12

Salut,

tu as une bonne idée sur ce lien.

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … proba.html

Quelle est la nature de a et b : sont ce des constantes ou les v. a limites ?

Sous ce lien, tu trouveras les réponses à tes questions.

http://www.proba.jussieu.fr/cours/proce … ode20.html

++

Dernière modification par freddy (07-07-2009 18:04:11)

granfada · 07-07-2009 21:54:30

Merci Freddy je regarderais ça demain.

a et b étaient sinon des v.a. limites "générales" pouvant etre ou non des constantes

freddy · 07-07-2009 22:03:55

Re,

si l'une des deux est une constante, alors on a de bonnes propriétés (notamment la somme "converge en loi").

Sinon, la "convergence en loi" n'est pas acquise car les va ne sont pas i.i.d. a priori.
Voir le lien sur "jussieu". Pour les démonstrations, il faut travailler un peu et je n'ai pas bcp de temps en ce moment.

+++

freddy · 09-07-2009 09:29:15

Re,

à la base, il faut étudier les distributions de la somme des deux variables, de la manière suivante la plus simple qui soit, à savoir :

[tex] Prob(a_n\le x) = F_n(x) [/tex] et [tex] Prob(b_n\le y ) = G_n(y) [/tex]

On forme e [tex] Prob(a_n + b_n\le x+y) =H_n (x+y) [/tex]

et on regarde comment est H_n par rapport à F_n et G_n.

thadrien · 09-07-2009 13:50:36

granfada a écrit :

Si [tex] a_n \stackrel{L}\to a [/tex] et [tex] b_n \stackrel{L}\to b [/tex], à quelles conditions a-t-on [tex] a_n+b_n \stackrel{L}\to a+b [/tex] ? Comment le démontrer ?
Si [tex] a_n [/tex] ne converge pas en loi et [tex] b_n \stackrel{L}\to b [/tex], comment prouver que la somme [tex] a_n+b_n [/tex] ne converge pas non plus en loi ?

Pour la première question, je ne sais pas.

Pour la seconde, on peut procéder par l'absurde. [tex]a_n = (a_n + b_n) - b_n[/tex]. Si [tex]a_n + b_n[/tex] converge en loi, alors [tex]a_n[/tex] aussi. Contradiction avec l'hypothèse de départ.

En espérant avoir pu t'aider.

Hadrien

freddy · 09-07-2009 15:45:55

Re,

Je ferais attention, peut être que précisement la somme peut converger en loi sans que chacune des deux v.a ne converge en loi.

On en revient toujours au même problème qui consiste à répondre à la question : dans quelle mesure la somme converge légalement ?

++

thadrien · 09-07-2009 22:42:54

freddy a écrit :

Je ferais attention, peut être que précisement la somme peut converger en loi sans que chacune des deux v.a ne converge en loi.

Je précise : cette démonstration fonctionne si une des variables ne converge pas, mais que l'autre converge. Si les deux ne convergent pas, il y a bien sûr des contre-exemples triviaux.

freddy · 10-07-2009 06:50:46

thadrien a écrit :

granfada a écrit :
Si [tex] a_n \stackrel{L}\to a [/tex] et [tex] b_n \stackrel{L}\to b [/tex], à quelles conditions a-t-on [tex] a_n+b_n \stackrel{L}\to a+b [/tex] ? Comment le démontrer ?
Si [tex] a_n [/tex] ne converge pas en loi et [tex] b_n \stackrel{L}\to b [/tex], comment prouver que la somme [tex] a_n+b_n [/tex] ne converge pas non plus en loi ?
Pour la première question, je ne sais pas.
Pour la seconde, on peut procéder par l'absurde. [tex]a_n = (a_n + b_n) - b_n[/tex]. Si [tex]a_n + b_n[/tex] converge en loi, alors [tex]a_n[/tex] aussi. Contradiction avec l'hypothèse de départ.
En espérant avoir pu t'aider.
Hadrien

Salut Thadrien,

ton raisonnement par l'absurde est inexact en ce sens que tu utilises une propriété qui n'est pas établie.

En effet, comme nous savons que la "convergence en loi" n'est pas additive, sauf cas très particulier, tu ne peux rien inférer de l'écriture [tex]a_n = (a_n + b_n) - b_n[/tex].

thadrien · 10-07-2009 17:08:52

freddy a écrit :

En effet, comme nous savons que la "convergence en loi" n'est pas additive, sauf cas très particulier, tu ne peux rien inférer de l'écriture [tex]a_n = (a_n + b_n) - b_n[/tex].

Autant pour moi, j'avais confondu avec un autre truc.

freddy · 10-07-2009 18:03:14

Oui, je sais que tu pensais qu'on parlait de suite numérique, auquel cas tu avais raison.

Petite remarque : on écrit "Au temps pour moi", c'est un truc de chef d'orchestre de défilé militaire !

Bye

granfada · 10-07-2009 22:22:02

freddy a écrit :

Re,
à la base, il faut étudier les distributions de la somme des deux variables, de la manière suivante la plus simple qui soit, à savoir :
[tex] Prob(a_n\le x) = F_n(x) [/tex] et [tex] Prob(b_n\le y ) = G_n(y) [/tex]
On forme e [tex] Prob(a_n + b_n\le x+y) =H_n (x+y) [/tex]
et on regarde comment est H_n par rapport à F_n et G_n.

Ouais j'ai essayé de faire un truc comme ça mais j'arrive pas à grand chose. Je vois pas à quels moments le fait que a ou b soient constants intervient en tout cas.

freddy · 11-07-2009 09:49:34

Re,

la constance de a ou b signifie que la loi est dégénérée, puisque la fonction F et égale à 1 si x = a (ou b) et 0 sinon.

thadrien · 12-07-2009 19:37:45

Je viens de me rendre compte d'un truc. On ne peut pas répondre à "Si [tex]a_n[/tex] ne converge pas en loi et [tex]a_n[/tex], comment prouver que la somme [tex]a_n + b_n[/tex] ne converge pas non plus en loi ?" dans le cas général.

En effet, supposons que la proposition (2) ([tex]a_n[/tex] ne converge pas en loi et [tex]b_n[/tex] converge en loi => [tex]a_n + b_n[/tex] ne converge pas en loi) soit vraie.

Supposons alors que [tex]a_n[/tex] et [tex]b_n[/tex] convergent en loi, mais pas [tex]a_n + b_n[/tex]. Comme [tex]a_n = (a_n + b_n) - b_n[/tex], [tex]a_n[/tex] ne converge pas en loi d'après la proposition (2). Par l'absurde, [tex]a_n + b_n[/tex] converge en loi.

On a donc (2) => additivité de la convergence en loi. Et, encore par l'absurde, on montre ainsi que (2) est fausse.

Je sens qu'il va y avoir de belles migraines sur ce problème...

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