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zemzm

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Problème avec la résolution de séries numérique. [Résolu]

bonjour,
je sollicite votre aide pour comprendre la la méthode a suivre pour résoudre une séries numérique .
la serie est :
[tex]Un= (-1)^n (ln(1{+}\frac{1}{n^ \alpha}  )) ^3[/tex],    [tex]{n}\geq {1} [/tex],  [tex]{\alpha}\geq {0} [/tex]

comment démontrer que si[tex] \alpha=0, alors   la  série   \sum{} Un   diverge  et  que  si  \alpha>0,  alors  la  série   Un  Converge[/tex].

je ne sais pas quel règle utiliser. j'ai pensé à la règle de Riemann mais il y a le [tex](-1)^n[/tex] qui me gêne.
j'ai aussi pensé a l'équivalence pour [tex](ln(1{+}\frac{1}{n^ \alpha} [/tex] mais la encore que faire de la puissance 3.
merci pour votre  aide .

zemzm

Fred

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Re : Problème avec la résolution de séries numérique. [Résolu]

Bonjour zemzm,

  Quand on étudie une série numérique, il est TRES rare qu'on utilise directement une règle de comparaison directement, il faut comprendre comment se comporte le terme général de la série.
Dans le cas qui t'intéresse (série dont le terme général ne garde pas un signe constant), la méthode est de faire un développement limité du terme général jusqu'à obtenir le terme général d'une série absolument convergente.

Pour ton cas, le cas [tex]\alpha=0[/tex] est trivial (le terme général ne tend pas vers 0).
Pour [tex]\alpha=1/4[/tex] (je fais d'abord cet exemple pour bien comprendre), on écrit :

[tex]\ln(1+1/n^\alpha)=\frac{1}{n^{1/4}}-\frac{1}{2n^{1/2}}+O\left(\frac{1}{n^{3/4}}\right)[/tex]
Si on met au cube le développement limité, on trouve

[tex]\ln\left(1+\frac{1}{n^\alpha}\right)=\frac{1}{n^{3/4}}-\frac{3}{2n}+O\left(\frac{1}{n^{5/4}}\right)[/tex]
soit finalement
[tex]u_n=\frac{(-1)^n}{n^{3/4}}-\frac{3(-1)^n}{2n}+O\left(\frac{1}{n^{5/4}}\right):=v_n+w_n+z_n[/tex]

Les séries de terme général [tex]v_n[/tex] et [tex]w_n[/tex] sont convergentes par application du critère des séries alternées, la série de terme général [tex]z_n[/tex] est convergente car absolument convergente, donc la série de terme général [tex]u_n[/tex] est convergente.

Pour la preuve du cas général, je te laisse réfléchir un petit peu... C'est évidemment un peu plus dur à écrire, mais c'est un bon exercice de réflexion....

Fred.

zemzm

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Re : Problème avec la résolution de séries numérique. [Résolu]

encore un fois merci pour ta réponse . je vais prendre le temps de comprendre ton explication.
moi, lors d études de séries, je regarde directement quel critère appliquer . c 'est pour cela que je n'avancer pas trop. 

zemzm.