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marcanlem

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Probabilité [Résolu]

Bonjour,

On considère n "menteurs" [tex]I_2,...,I_n .  I_1[/tex] reçoit  une  information  sous  la  forme  "oui"  ou  "non" ,  la     transmet  à [tex]I_2[/tex],  ainsi  de  suite  jusqu'à  [tex]I_n[/tex]  et [tex]I_n[/tex]  l'annonce  au  monde.
Chacun  d'eux  transmet  ce qu'il à entendu avec la probabilié p, 0<p<1, le contraire avec la probabilité 1-p, et les réponses des n personnes sont indépendantes.
Calculer la probabilité[tex]p_n[/tex], pour que l'information soit fidèlement transmise. Que se passe-t-il quand n tend vers l'infini?

Je pense que la solution, c'est [tex](1-p)^n[/tex] si n est pair pour que l'information soit fidèlement transmise, et 0 si n est impair. Et donc quand [tex]\  n \to \infty} , \ p_n\to\ 0}[/tex],

Qu'en pensez vous?
Merci d'avance

freddy

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Re : Probabilité [Résolu]

Salut,

j'ai peur que tu ne sois trop simpliste :

si n= 3 par exemple, pour que l'information soit la même en sortie, tu as la proba suivante

[tex]p^3 + 3p(1-)^2[/tex]

ce qui semble évident puisque : soit l'information circule sans déformation, soit elle soit déformée deux fois et elle reste la même une fois.

Donc la proba que tu cherches est la partie du développement du binôme suivant :

[tex](p + (1-p))^n  =\sum_{k=1}^n\binom nk\times p^{n-k}\times(1-p)^{k}[/tex]

en retenant les puissances paires de (1-p) !

donc on a :

[tex]p_n = \sum_{j=1}^q\times \binom nj\times p^{n-2j} \times (1-p)^{2j}[/tex]

avec [tex]q = 2\times Ent(\frac{n}{2})[/tex]

Ent(.) désignat la partie entière de la valeur entre parenthèse.

Dernière modification par freddy (09-06-2009 15:32:08)

marcanlem

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Re : Probabilité [Résolu]

Salut,
Alors on a deux possibilités:
Si n est pair:
[tex]p_n =\sum_{k=0}^{n/2}\binom{n}{2k}p^{2k}\times(1-p)^{n-2k}[/tex]

Si n est impair:
[tex]p_n =\sum_{k=0}^{n-2}\binom{n}{2k+1}p^{2k+1}\times(1-p)^{n-2k-1}[/tex]

C'est bien ça?

freddy

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Re : Probabilité [Résolu]

Re,

corrige ta seconde formule, elle est incorrecte.

tibo

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Re : Probabilité [Résolu]

Bonjour,

Soit [tex]A_n[/tex] la probabilité que l'information soit concervée après n menteur.

[tex]A_1 = p[/tex]
[tex]A_2 = p^2+(1-p)^2[/tex]
[tex]A_3 = p^3+\binom 32 (1-p)^2p[/tex]
[tex]A_4 = p^4+\binom 42 (1-p)^2p^2+(1-p)^4[/tex]
[tex]A_5 = p^5+\binom 52 (1-p)^2p^3+\binom 54 (1-p)^4p[/tex]
[tex]A_6 = p^6+\binom 62 (1-p)^2p^4+\binom 64 (1-p)^4p^2+(1-p)^6[/tex]
...

par récurence, on doit pouvoir montrer:
[tex]A_n = \sum_{k=0}^{E \left( \frac{n+1}{2} \right)} \binom{n}{2k} (1-p)^{2k} p^{n-2k}[/tex]

par contre pour la limite j'ai pas trop d'idée.
Exel confirme la valeur de 0.5

ps: oups j'ai mis plus de temps que prévu sur exel, vous m'avez tout les deux devancé

Dernière modification par tibo (08-06-2009 16:31:57)

freddy

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Re : Probabilité [Résolu]

Re,

calcul de la limite quand n est tend vers l'infini.

Dans les calculs ci dessus, on voit qu'on s'intéresse finalement à la probabilité suivante :

[tex]p_n = \frac{(1+(1-p))^n + (p - (1-p))^n}{2}[/tex]

dont on déduit :

[tex]\lim\limits_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{2}[/tex]

Happy day

PS : ce qui est remarquable est qu'à partir d'un certain rang, la proba ne dépend plus de la propension à mentir.

Dernière modification par freddy (09-06-2009 15:33:18)

marcanlem

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Re : Probabilité [Résolu]

Bonjour,
Merci pour les résolutions.