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yoshi

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Le Bombardier et le Cuirassé

Re,

Encore une bataille navale...
On trace un système d'axes (Ox,Oy) : le Cuirassé est au départ au point O.
A chaque temps [tex]t \in {1,2,3....n}[/tex] se déplace soit vers la gauche soit vers la droite vers une nouvelle position où il demeurera jusqu'à la prochaine étape t+1 du chrono.
Le Bombardier, lui, qui voit la position du Cuirassé à l'instant t, peut lâcher une bombe également à ce même temps t  du chrono...
Mais, la bombe n'arrivera à destination qu'à t+2 et détruira le bateau si elle le touche...
Quelle est la valeur du jeu ?
Quelle est la probabilité maximum de "survie" du Cuirassé ?
Quelle est la probabilité maximum pour le Bombardier de faire mouche ?

J'espère que je suis clair parce que j'ai traduit de l'américain...

@+

Dernière modification par yoshi (08-05-2009 17:59:05)

nerosson

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Re : Le Bombardier et le Cuirassé

Bonjour, Yoshi,
Je vais tenter de proposer une réponse en espérant, cette fois, me faire comprendre et ne pas être fusillé.
Donc, si j'ai bien compris, il s'écoulera deux unités de temps entre le lâcher de la bombe et son arrivée au point d'impact.
Pendant ces deux unités de temps, le cuirassé, situé en un point O fera deux mouvements. Il peut :
a) faire deux mouvements à gauche et se retrouver lors de l'arrivée de la bombe à deux unités de longueur du point O.
b) Faire un mouvement à gauche et un droite : il se retrouve au point O.
c) Faire un mouvement à droite et un à gauche : il se retrouve au point O.
d) Faire deux mouvements à droite et se retrouver à deux unités de longueur du point O.
Au moment de l'impact, trois positions possibles pour le cuirassé :
a) A gauche du point O : une chance sur quatre,
b) Au point O : une chance sur deux,
c) A droite du point O : une chance sur quatre.
Le bombardier devrait donc envoyer sa bombe au point O avec une chance sur deux de succès.
Ceci me parait bon si on ne fait intervenir aucun facteur psychologique. En effet, si le bombardier estime que le commandant du cuirassé est capable de réfléchir, il en conclura que le cuirassé n'ira pas en O, et il tirera à gauche ou à droite. S'il a vu juste concernant le commandant du cuirassé, il aura une chance sur deux, mais s'il l'a mal évalué, il aura une chance sur trois.
On pourrait encore imaginer d'autres cas psychologiques (bombardier qui re réfléchit à rien, "raisonnement à double détente" de l'un ou de l'autre etc). Si tu permets, j'arrête là. De toute manière je connais quelqu'un qui, d'une manière ou d'une autre, me donnera toujours tort.
Salutations, Yoshi.
P.S. Tu parles d'un système d'axes (Ox, Oy). Je n'ai pas compris à quoi servait l'axe Oy. Encore une preuve de mes insuffisances.

yoshi

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Re : Le Bombardier et le Cuirassé

Salut,

Non, c'est ma traduction de l'américain qui était un peu confuse et en voulant être plus clair, je suis arrivé au point inverse...
Donc, au départ, le sous-marin est au point O, et les mouvements autorisés sont, avec les axes classiques Ox horizontal et  Oy vertical:
- soit une case parallèlement à Ox,
- soit une case parallèlement à Oy.
Ce qui revient en coordonnées classiques à répertorier les positions suivantes :
* t = 0 --> (0;0)
* t = 1 --> (0; 1) ou (1;0)
* t = 2 --> (0;2), (1 ; 1) ou (2;0)

Le bombardier voit la position du Cuirassé à l'instant t et peut décider de lâcher sa bombe à cet instant, bombe qui arrivera à destination au temps t+2

Est-ce plus clair ?
Les questions sont inchangées...

@+

nerosson

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Re : Le Bombardier et le Cuirassé

Bonjour? Yoshi,
Encore moi, excuse-moi.
Je ne comprends pas pourquoi ton problème, (à moins qu'il y ait quelque chose que je n'ai pas compris), ne prend pas en compte la possibilité, pour le cuirassé, de faire, au temps t2, le parcours inverse de celui qu'il a fait au temps t1.
Salutations.

freddy

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Re : Le Bombardier et le Cuirassé

Bonjour yoshi,

les "gains "et les "pertent" ont quelle valeur conventionnelle ?

1 $ ou 1€ ne me semblent pas être la bonne "mesure", car je pense que "couler le Cuirassé" doit "valoir" plus que de perdre une bombe ... jusqu'à un certain point qui devrait permettre de rendre le jeu "intéressant".

C'est un peu le pb que j'ai rencontré dans le sujet entre sous marin et chasseur bombardier.

à Plutarque !

yoshi

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Re : Le Bombardier et le Cuirassé

Bonjour nerosson,

Si par parcours inverse, tu entends "faire marche arrière", non ce n'est pas dans la règle...
Si au temps t il occupe une position (x;y), au temps t+1 il ne pourra occuper que les positions (x+1;y) ou (x;y+1)
c'est toujours +1 jamais -1.

Ca te va ?

@+

nerosson

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Re : Le Bombardier et le Cuirassé

Merci, yoshi,
Parfaitement compris, mais ce commandant de cuirassé qui n'est pas maître à bord après Dieu, "ça m'interpelle quelque part", comme disent les gens distingués. Ou alors, c'est Dieu qui ferait bien de revoir son cours d'algèbre (du boulot pour un ancien prof de maths...).

yoshi

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Re : Le Bombardier et le Cuirassé

Salut,

Oh, mais s'il n'y a que ça qui t'ennuie, qu'à cela ne tienne, ça complique encore un peu la situation et admettre que, pour t>=1, si au temps t le cuirassé occupe une position (x;y)  au temps t+1, il pourra occuper les positions (x-1;y), (x+1,y),(x;y-1), (x,y+1) et donc revenir à sa position (x;y) à t+2...
Ca complique la donne, mais Freddy va sûrement se faire un plaisir, "pour l'honneur de l'esprit humain" de te calculer la probabilité pour le bombardier de toucher le U-Boat...
T'as raison, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

@+

freddy

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Re : Le Bombardier et le Cuirassé

Hello tutti,

pas sûr que le Cuirassé aime le changement d'allure "avant arrière". C'est déjà assez peu crédible pour un marin d'admettre qu'un bâtiment de la marine puisse imiter la marche de l'homme ivre qui va soit tout droit, soit à gauche, soit à droite, alors "marche arrière toute", quand il "file sur son erre" ??!!!... Je pense qu'il n'y a que sur les game boy qu'on peut faire cela.
Comme le Cuirassé file droit devant, il n'a d'autre solution que de donner des coup de barre à 45 ° pour tromper le chasseur, mais sans plus. Ceci explique le "sens" unique du jeu.

Sinon, à chaque instant t, on peut considérer que le navire est à l'origine d'un repère mobile.
Donc, en t+2, il sera en (2,0), ou bien (1,1) ou bien (0,2), qu'on appellera Gauche, Centre, Droit.
A la même date t, le chasseur bombardier largue sa bombe dont la route est programmée vers Gauche, Centre ou Droit.

Si on désigne par 1 le joueur "Avion" et par 2 le joueur "Bâtiment de guerre" ou l'Unterseeboot, on a la matrice de gain du point de vue de 1 :

1\2  G    C    D
G   +1  -1   -1
C   -1  +1   -1
D   -1   -1  +1

Chacun choisit de tirer au sort (avec une Prob = 1/3) une des trois stratégies =>

Valeur du jeu pour "1" = 3*1/9 - 6*1/9 = -1/3

Prob max de toucher la cible : 3*1/9 = 1/3
Prob Max de "survivre" du Cuirassé : 6/9 = 2/3.

Dernière modification par freddy (26-05-2009 10:10:02)

freddy

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Re : Le Bombardier et le Cuirassé

Si on veut élargir le jeu, il faut identifier les résultats possibles, y associer les stratégies possibles et voir comment "choisir au sort" le mieux possible contre "le meilleur choix au sort" de l'adversaire qui intègre le meilleur choix que vous êtes en train de chercher !...

Si en t on est en (0,0), en t+ 2 on peut être en :

(0,0)
(1,1) (1,-1) (-1,-1) (-1,1)
(2,0) (0,-2) (-2,0)  (0,2)

On a 9 stratégies individuelles, une matrice de gain de 81 cases dont celles de la diagonale principale  = gain pour le chasseur bombardier =>

valeur du jeu pour "1" = 9*1/81- 72*1/81 = -6/9 = -2/3

Prob max de "toucher la cible" = 9/81 = 1/9

et prob max d'y réchapper = 72/81 = 8/9

"Pour l'honneur ..."