Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

Administrateur

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Où est l'erreur?

Bonjour,

  On lance trois pièces de monnaie.
Quelle est la probabilité pour que les 3 pièces tombent sur le même côté.

Votre copain Sylvain vous répond : facile, c'est 1/2.
En effet, parmi les 3 pièces, il y en a toujours au moins 2 qui tombent sur le même côté, disons pile.
La troisième a une chance sur deux d'être aussi sur pile.

Pourtant, si on énumère tous les cas, il faut se rendre à l'évidence. La probabilité n'est que de 1/4.

Comment expliquez-vous à Sylvain qu'il s'est trompé?

A+
Fred.

Domi

Membre

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Re : Où est l'erreur?

Bonjour à tout le monde, je suis nouvel inscrit (je visitais depuis un certain temps et le forum m'a paru sympa, alors allons-y !)
Perso, je dirais que c'est une épreuve de Bernouilli : le fait qu'on lance 3 pièces en même temps ou bien une pièce trois fois de suite ne change rien au pb, car dans les deux cas, les lancers sont des expériences indépendantes.
On va dire pile=succès, face=échec
On cherche donc la proba d'avoir 3 succès ou bien 3 échecs sur 3 lancers successifs d'une pièce.
La proba d'avoir 3 succès est (1/2)^3 = 1/8
Celle d'avoir 3 échecs est la même.
Au total, on fait la somme de ces 2 probas et on tombe sur le 1/4 d'avoir soit 3 piles, soit 3 faces.
J'ai bon ?

Domi

nerosson

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Re : Où est l'erreur?

Bonjour, Fred, bonjour, Domi.
J'avais déjà rédigé le brouillon de ma réponse quand j'ai vu celle de Domi. Je pense donc que je peux me risquer à communiquer la mienne. Ca n'est pas malhonnête (encore faut-il qu'on me croie).
Individualisons les pièces par les lettres A, B et C.
Combien y a-t-il de possibilités qu'on ait deux pièces tombant sur des cotés différents. J'en trouve six :
A(p) - B(f)
A(f) - B(p)
A(p) - C(f)
A(f) - C(p)
B(p) - C(f)
B(f) - C(p).
Dans ces six cas, quelle que soit la position de la troisième pièce, la condition initiale (trois positions identiques) ne sera pas remplie. je pense qu'il n'est pas nécessaire de démontrer que les possibilités sont au nombre huit. Donc la condition exigée ne sera remplie que dans deux cas sur huit.
Je reconnais que je prouve à Sylvain que son raisonnement est faux en en présentant un autre dont je prouve qu'il est juste. J'admets que c'est une méthode qu'on peut contester, mais dans ce cas Domi ne peut pas me lancer la première pierre.... Peut-être qu'un autre s'en chargera....
Peut mieux faire....
Salutations

freddy

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Re : Où est l'erreur?

Je dirais que c'est une épreuve de Bernouilli : le fait qu'on lance 3 pièces en même temps ou bien une pièce trois fois de suite ne change rien au pb, car dans les deux cas, les lancers sont des expériences indépendantes.
On va dire pile=succès, face=échec
On cherche donc la proba d'avoir 3 succès ou bien 3 échecs sur 3 lancers successifs d'une pièce.
La proba d'avoir 3 succès est (1/2)^3 = 1/8
Celle d'avoir 3 échecs est la même.
Au total, on fait la somme de ces 2 probas et on tombe sur le 1/4 d'avoir soit 3 piles, soit 3 faces.
J'ai bon ?

Domi

Oui, c'est bon !

"More Majorum ... ad Unum"

Dernière modification par freddy (12-05-2009 18:10:25)

freddy

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Re : Où est l'erreur?

Bonjour, Fred, bonjour, Domi.
J'avais déjà rédigé le brouillon de ma réponse quand j'ai vu celle de Domi. Je pense donc que je peux me risquer à communiquer la mienne. Ca n'est pas malhonnête (encore faut-il qu'on me croie).
Individualisons les pièces par les lettres A, B et C.
Combien y a-t-il de possibilités qu'on ait deux pièces tombant sur des cotés différents. J'en trouve six :
A(p) - B(f)
A(f) - B(p)
A(p) - C(f)
A(f) - C(p)
B(p) - C(f)
B(f) - C(p).
Dans ces six cas, quelle que soit la position de la troisième pièce, la condition initiale (trois positions identiques) ne sera pas remplie. je pense qu'il n'est pas nécessaire de démontrer que les possibilités sont au nombre huit. Donc la condition exigée ne sera remplie que dans deux cas sur huit.
Je reconnais que je prouve à Sylvain que son raisonnement est faux en en présentant un autre dont je prouve qu'il est juste. J'admets que c'est une méthode qu'on peut contester, mais dans ce cas Domi ne peut pas me lancer la première pierre.... Peut-être qu'un autre s'en chargera....
Peut mieux faire....
Salutations

Règle simple : 8 cas possibles, deux cas favorables => proba = 2/8 = 1/4.

"Etre et durer"

Fred

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Re : Où est l'erreur?

Bonjour,

  Oui, vos réponses sont correctes, mais ne répondent pas à la question posée comme le signale
Nerosson. Comment expliquer à Sylvain que son raisonnement est erroné????

Fred.

freddy

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Re : Où est l'erreur?

Hello,

l'erreur de Sylvain est redoutable (genre faux ami) : sur un jet de trois pièces, il y en aura toujours deux du même côté. Donc il fait comme si il jetait l'un après l'autre les trois pièces et se ramène à calculer la probabilité conditionnelle d'avoir P ou F sachant qu'il déjà obtenu PP ou FF.

Mais il faudrait qu'il calcule aussi la proba d'avoir PP ou FF en jetant deux pièces simultanément.

"Dieu ne joue pas au dé"
A. E

Dernière modification par freddy (13-05-2009 14:13:47)

Domi

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Re : Où est l'erreur?

L'erreur vient du fait qu'on est certes obligés d'avoir 2 piles ou 2 faces, mais sur les les 3 jets, et pas sur 2 ; or, c'est ce que considère Sylvain. Il prend une proba de 1 pour les 2 premiers lancers d'avoir PP ou FF et multiplie par la proba de 0.5 du lancer de la 3e pièce.
En fait, après avoir lancé 2 pièces, il n'a que 0.5 de proba d'avoir PP ou FF, et pas 1 comme il le dit. Et donc quand il lance la 3e, on remultiplie par 0.5 ce qui fait 1/4 et pas 1/2.

A Freddy : du point de vue modèle, je dirais qu'il n'y a pas de différences entre le lancer simultanné de 3 pièces et le lancé différé de la même pièce trois fois A CONDITION bien entendu qu'on ne se préoccupe pas de l'ordre dans lequel on obtient les PPF ou FPP ou autres, ce qui est le cas ici.
Pour faire mon raisonnement, j'ai donc modélisé avec d'abord 2 lancers de la pièce, avec 50/50 d'avoir PP+FF ou PF+FP, puis, 3e lancer qui donne donc une proba conditionnelle qui aboutit à la division par 2 de la proba finale.

Commentaires bienvenus, j'ai toujours du mal avec ces %#*$ de modèles de proba…

freddy

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Re : Où est l'erreur?

L'erreur vient du fait qu'on est certes obligés d'avoir 2 piles ou 2 faces, mais sur les les 3 jets, et pas sur 2 ; or, c'est ce que considère Sylvain. Il prend une proba de 1 pour les 2 premiers lancers d'avoir PP ou FF et multiplie par la proba de 0.5 du lancer de la 3e pièce.
En fait, après avoir lancé 2 pièces, il n'a que 0.5 de proba d'avoir PP ou FF, et pas 1 comme il le dit. Et donc quand il lance la 3e, on remultiplie par 0.5 ce qui fait 1/4 et pas 1/2.

A Freddy : du point de vue modèle, je dirais qu'il n'y a pas de différences entre le lancer simultanné de 3 pièces et le lancé différé de la même pièce trois fois A CONDITION bien entendu qu'on ne se préoccupe pas de l'ordre dans lequel on obtient les PPF ou FPP ou autres, ce qui est le cas ici.
Pour faire mon raisonnement, j'ai donc modélisé avec d'abord 2 lancers de la pièce, avec 50/50 d'avoir PP+FF ou PF+FP, puis, 3e lancer qui donne donc une proba conditionnelle qui aboutit à la division par 2 de la proba finale.

Commentaires bienvenus, j'ai toujours du mal avec ces %#*$ de modèles de proba…

Je confirme Domi, tu as bien trouvé l'origine de  l'erreur de Sylvain: il considère acquis d'avoir PP ou FF.

Je confirme aussi ton modèle de jets de pièces : 3 jets d'un coup ou trois séparement, mais il faut attendre le troisième jet pour se prononcer.

ON a :

[tex] \Pr(F ou P/PP ou FF) [/tex]  qui est bien différent de [tex] \Pr(PPP ou FFF) [/tex]

car :

[tex] \Pr(P ou F/PP ou FF) = \frac{\Pr(P ou F)\times \Pr(PP ou FF)}{Pr(PP ou FF) } [/tex]  (car indépendance des jets de pièces)

[tex] =\frac{(\frac{1}{2})\times(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})}{(\frac{1}{4} + \frac{1}{4})} = \frac{1}{2} [/tex]

et

[tex] \Pr(PPP ou FFF) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} [/tex]