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maths14

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fonction exponentielle [Résolu]

Bonjour! Je dois faire un exo sur la fonction exponentielle mais j'ai beaucoup de mal à comprendre mais j'ai trouvé les 2eres questions (le 1 et le 2a) , Pouvez-vous m'aider?

Voila l'exo:

1. Soit Cm la fonction définie sur [0;6] par: Cm(q)= 0.8+4(1-2q)e^-2q.

Cette fonction traduit le cout marginal quotidien d'une usine pour la fabrication d'un produit chimique sous forme liquide, q étant la quantité de produit exprimée en milliers de litres et Cm(q) exprimé en milliers d'euros.

Dresser le tableau de variation de Cm, la valeur de Cm(1) figurera dans le tableau.
En déduire le signe de Cm (q) sur [0;6].

2.a Montrer que la fonction g définie sur [0;6] par g(q)=4qe^-2q admet pour fonction dérivée la fonction définie par: g'(q)= 4(1-2q)e^-2q.

2b. Le cout marginal est assimilé à la fonction dérivée du cout total.
Sachant que les couts fixes Ct(0) s'élèvent à un millliers d'euros, déterminer la fonction Ct traduisant le cout total de la fonction q.

3a. Déterminer les variations de Ct sur [0;6].

Merci d'avance pour votre aide

yoshi

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Re : fonction exponentielle [Résolu]

Bonjour,

Je veux bien répondre, mais cette phrase prête à confusion :

Sachant que les couts fixes Ct(0) s'élèvent à un millliers d'euros, déterminer la fonction Ct traduisant le cout total de la fonction q.

Est-ce là la phrase d'origine ?
J'en serais surpris :
- "la fonction q" : q n'est pas une fonction, mais une variable,
- logiquement, Cm --> Coût marginal, Ct --> Coût total, donc Coût fixe --> Cf non ? Or tu écris Ct(0) coût fixe...  J'attendrais Ct = Cf + Cm

Peux-tu revérifier s'il te plaît ?

@+

maths14

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Re : fonction exponentielle [Résolu]

Effectivement, je me suis trompé en recopiant.
La phrase juste est: Sachant que les couts fixes Ct(0) s'élèvent à un millier d'euros, déterminer la fonction Ct traduisant le cout total en fonction de q.

Je vous confirme que Ct(0) correspond bien aux couts fixes même si ce n'est pas très logique.

yoshi

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Re : fonction exponentielle [Résolu]

Re,

Que ton énoncé (tu n'y peux rien) est fichtrement mal rédigé...

Hmmmm...
J'ai comme un soupçon : aurais-tu vu les équations différentielles ?
Si oui, ce Ct(0) permettra (permettrait ?) de trouver la constante.

Parce que même s'il est écrit que :
Le cout marginal est assimilé à la fonction dérivée du cout total
Cm(q)=g'(q) avec [tex]g(q) = 4qe^{-2q}[/tex], Ct n'est pas égal à g(q) :(g(0)=0) Puisqu'il est dit que Ct(0)=1 (millier d'euros)...

En fait, solution probable (les équa diff ça me paraît quand même bizarre vu l'écriture du pb) e: écrire que
[tex]C_t(q) = g(q) + 1 = 1+4qe^{-2q}[/tex]

Je n'ai pas de certitude absolue, mais je pense que c'est probablement ça...
Si ce n'est pas trop urgent, je préférerais que tu attendes un peu pour voir si quelqu'un a un autre avis.
Pas d'autres questions après qui permettent de corroborer ma supposition ?
Sûrement que si, tiens ! Puisque il y a 3a)... On trouvera au minimum 3b)  !
Donc, donne la suite s'il te plaît !

@+

PS 
Je constate que tu t'es inscrit entre le 1er et le 2e message : ça m'avait échappé ! Donc  : Bienvenue à bord...

maths14

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Re : fonction exponentielle [Résolu]

Je n'ai pas vu les équations différentielles, je suis en ES et je crois que c'est en S où on les voit.
Précedemment j'ai trouvé que C'm(q)= 16e^-2q (-1+q), et que Cm(1)= 0.8+4e^-2.
Je ne sais pas si ca peut servir.
J'ai demandé à d'autres personnes mais ils n'ont pas trouvé non plus. Donc voila pour l'instant je suis bloqué.

yoshi

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Re : fonction exponentielle [Résolu]

Bonsoir,

1. S'il a 3a), il y au moins 3b)... Quelle est cette question (et les autres s'il y en a) ?

2. Voilà une précision notable  : tu es en ES. Voilà qui élimine la piste des équa diff...

3. Si tu prends le Ct(q) que je t'ai donné soit g(q)+1,  sa dérivée sera aussi Cm(q) et on t'a demandé son signe sur [0 ; 6], ce qui te permet donc de définir les variations de Ct sur ce même intervalle. Question 3a).
Je viens de tracer la courbe : Ct(q) croît de 1 à environ 1,75 (pour x de 0 à 0,5 environ), puis décrôit avec y=1 comme asymptote horizontale...
Donc j'interprète cela comme ça le coût total augmente pour une production de 0 à 0,5 (millier de litres) donc de 0 à 500 litres environ, puis décroît pour tendre vers 1 millier d'euros pour une production dépassant des dizaines de milliers de litres...

J'étais tenté d'ajouter Cf et Cm pour trouver Ct, mais dans ce cas Cm n'est plus gal à C't comme dit dans l'énoncé...
Je reste sur ce que j'ai dit, mais j'y réfléchis encore...

@+

maths14

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Re : fonction exponentielle [Résolu]

En fait le 3b c'est la réprésentation graphique de la fonction du cout total donc c'est bon.
il y a une partie B mais elle est assez courte, la voici:

Le prix de vente de ce liquide est de 1.80€ par litre. La fabrication quotidienne est vendue en totalité.

1a. Réprésenter graphiquement la fonction traduisant la recette quotidienne.

1b. Montrer que le bénéfice noté B(q) s'exprime par B(q)= q-1-4qe^-2q.

2. Soit la fonction h définie sur [0;6] par h(q) = 1,8-Cm(q).

a. Etudier les variations de h en utilisant celles de Cm.

b. Démontrer que l'équation h(q)=0 a une unique solution alpha sur [0;1]. (On ne demande pas de calculer alpha).

D'autre part je crois que pour la partie A il faut trouver des primitives donc j'ai calculé les primitive de g(x) et de f(x) et j'ai trouvé:
G(x)= 0.8x
F(x)=4qe^-2q
Voila.

freddy

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Re : fonction exponentielle [Résolu]

Bonsoir,

problème assez classque en économie : On connait le coût marginal Cm(q) = CT'(q)

Donc on en déduit la fonct CT(q) déterminée à une constante près, et cette constante est égale à CT(O) = 1 .

Puisque le sujet te donne la forme de la primitive d'une partie de la fonction Cm, on en déduit aisément que

[tex]CT (q) = 1 + 0.8q + 4q\times exp^{-2q}[/tex]

Le bénéfice = recette - dépenses = 1,8q - CT(q)

En remplaçant et ordonnant, on retrouve la fonction BT(q) de l'énoncé.

On sait enfin que le bénéfice est maximal au point q* où la dérivée première de BT(q) s'annule. D'où l'étude du graphique.

"Sauver ou Périr"

Dernière modification par freddy (06-05-2009 20:11:14)

yoshi

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Re : fonction exponentielle [Résolu]

Re,

Au temps pour moi ! On réfléchit mieux l'estomac plein et les lunettes nettoyées...

Je relis :
[tex]C_m(q)=0.8+4(1-2q)e^{-2q}[/tex]
[tex]g'(q)= 4(1-2q)e^{-2q}[/tex]
et enfin :
Cm=C't
J'en conclus :
1. que [tex]C_m(q) = 0.8+g'(q)[/tex]
2. que [tex]C_t(q) = 0,8q+g(q)+c[/tex]
J'ai cherché une primitive de Cm(q), et c est une constante.

Donc  Ct(0)= 0,8*0 +g(0) +c = 1
Soit c = 1.
Donc : [tex]C_t(q) = 1+0,8q+4(1-2q)e^{-2q}[/tex]

@+

[EDIT]
Grillé par freddy : j'ai perdu trop de temps à tracer la courbe et l'asymptote oblique...

Dernière modification par yoshi (06-05-2009 20:02:20)

maths14

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Re : fonction exponentielle [Résolu]

Merci, vous m'avez beaucoup aidé et cela m'a permis de mieux comprendre l'exercice..!
Passez une bonne soirée !
A bientot !