Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

yoshi · 26-04-2009 17:34:56

Re,

Je savais bien que j'avais vu cette histoire quelque part...
Je l'ai retrouvée : c'est une variante du "Jeu des terriers" du Pr Rufus Isaacs (eh Barbichu, et le jeu "Devinez de la carte cachée " + une dose de bluff, du même Isaacs, t'as oublié ? capitulé ?)...
Selon Martin Gardner, Rufus Isaacs employait ce "jeu" pour expliquer la notion de "stratégie mixte" aux militaires.

Le point de départ est le même:
1 2 3 4 5
O A O B O C O D O

^^
| |
Un grenadier (canonnier pour Isaacs) et, en face de lui, 5 "terriers" (les O) où peut se cacher un soldat.
Le canonnier n'a le droit de tirer qu'entre les trous ! Il a donc 4 options A, B, C, D...
Un tir ne tue le soldat que s'il aboutit en un point adjacent au trou où est caché le soldat : un tir en B tue le soldat caché dans les terriers 2 ou 3.
Supposons que l'on affecte la valeur 1 à la réussite du canonnier et 0 dans le cas contraire.
La valeur du "jeu" est alors égale à la probabilité de réussite du tir.
Quelles sont les stratégies optimales des "joueurs" et quelle est la valeur du "jeu" ?

@+

nerosson · 04-05-2009 15:03:34

Bonjour à tous.
Excusez-moi d'enfoncer les portes ouvertes : il n'y a aucun moyen de tuer le soldat à coup sûr du premier coup. Il faut donc un suite méthodique de tirs pour y parvenir, la meilleure suite étant celle qui utilise le moins de grenades. Bien que Yoshi ait omis de le dire, je pense que le soldat ne peut se déplacer que d'un trou au trou voisin, autrement, à mon avis, le problème est sans solution.
Compte tenu de mon goùt du sang et de mon sens de l'économie (par ces temps de crise, même le prix des grenades augmente), voici ce que je propose :
1 - Je tire entre les trous 4 et 5 : si fred et sa moulinette magique se trouvaient dans un des trous 4 et 5, j'ai gagné.
2 - S'il se trouvait dans un des trous 1, 2 ou 3, il peut maintenant se trouver dans un des trous 1, 2, 3 ou 4.
3 - Je tire entre les trous 3 et 4 : si Fred se trouvait dans un des trous 3 et 4, j'ai gagné.
4 - S'il se trouvait dans un des trous 1 ou 2, il va pouvoir maintenant se trouver dans un des trous 1, 2 ou 3.
5 - je tire entre les trous 2 et 3 : S'il se trouvait dans un des trous 2 ou 3, j'ai gagné.
6 - S'il se trouvait dans le trou 1, il va pouvoir maintenant se trouver dans un des trous 1 ou 2.
7 - je tire entre les trous 1 et 2, et je tue Fred à coup sûr et plus de moulinette magique. Il y a si longtemps que j'en rèvais...
J'ai utilisé quatre grenades.
Salutations, Yoshi.
Fred, repose en paix !

yoshi · 04-05-2009 17:37:23

Bonjour,

Nerassassin, je ne discute pas de tes conclusions...
Mais j'attends la stratégie optimum pour chacun et le nombre de chances maxi :
- pour l'un d'en réchapper et comment,
- pour l'autre de faire mouche et comment,
Il est clair que si l'un s'y prend mal, les "chances" de l'autre de parvenir à ses fins augmente...

Une chose me tourmente dans la solution de Rufus Isaacs (moi et les probas !), c'est qu'en additionnant les chances de l'un et les chances de l'autre quand chacun des deux protagonistes use de la stratégie optimum, c'est que je n'obtiens pas 100 % : c'est peut-être normal, mais lorsque la solution sera publiée, j'aimerais bien qu'on m'explique pourquoi !

@+

nerosson · 04-05-2009 18:10:02

Mon cher Yoshi, pardonne-moi d'insister.
Tu poses deux questions :
1 - Pour le grenadier, la stratégie optimum pour faire mouche et le nombre de chances maxi. J'ai exposé la stratégie que je considère, jusqu'à ce qu'on me prouve le contraire, comme optimum. Nombre de chances de réussir : 100 %.
2 - Pour Fred, la stratégie optimum et le nombre de chances d'en réchapper : je pense que, quelle que soit sa stratégie, il est cuit. Nombre de chances d'en réchapper : 0 %.
Resalutations (transmet mes condoléances à la veuve et aux orphelins).

Dernière modification par nerosson (04-05-2009 18:13:22)

yoshi · 04-05-2009 19:58:56

Bonsoir,

Et moi d'insister aussi...
D'après Rufus Isaacs, Pr américain spécialiste de la théorie des jeux, tu as tort...
http://en.wikipedia.org/wiki/Rufus_Isaa … _theorist).

Le soldat doit se cacher dans un des Terriers 1, 2, 3, 4 et 5 et un canonnier peut tirer en A, B, C et D...
Il n'y a qu'un seul tir par "partie".
Après chaque tir, on remet tout à zéro :
- si le soldat en a réchappé, il va de nouveau choisir un terrier (dit Isaacs qui ne précise aucunement qu'il faut que ce soit un terrier voisin), sinon on en en met un autre et on repart pour un tir.
- le canonnier doit alors choisir un "entre-terriers" où tirer.
Quelle probabilité le soldat a-t-il d'en réchapper sur un tir ?
Quelle probabilité le canonnier a-t-il de tuer le soldat sur un tir ?

C'est sûr qu'avec qq essais consécutifs, même si le soldat change de terrier entre chaque tir et opte pour n'importe lequel des 5, pas seulement le voisin (trop "facile" sinon), ledit soldat finira par être envoyé dans un monde meilleur...

Martin Gardner, collaborateur à la revue "Scientific American" qui relate ce jeu, en donne une version plus pacifique :
<< On peut fabriquer un jeu équivalent avec cinq cartes dont un As. Un joueur les dispose, face cachée, sur une même rangée, et l'autre joueur doit tirer 2 cartes adjacentes et gagne si l'une d'elles est l'As.>>

Alors pourquoi Isaacs n'a-t-il pas soumis aux militaires cette version ? Une réponse me brûle la langue, mais je m'abstiendrai...
Quant à moi, c'était pour faire ressortir les instincts sanguinaires de ceux qui allaient répondre ! J'ai eu 100 % de réussite grâce à nerosson, Nero's son ? (en anglishe dans le texte, of course !).

Bon, freddy, Barbichu et consorts, vous n'allez pas me laisser tomber ???

@+

freddy · 04-05-2009 21:12:03

Bonsoir,

La référence à une stratégie mixte en théorie des jeux est de dire qu'il n'y a pas de solution en stratégie pure, mais qu'on soumet son choix à une loi de proba. L'équilibre en stratégie mixte signifie qu'il existe un loi de proba qui permet de gagner, en espérance.

Par exemple, dans le cadre du duel "gardien" et tireur du pénalty, il n'y a pas de stratégie pure l'équilibre, mais un équilibre en stratégie mixte qui énonce : pour le tireur, choisir au hasard droite ou gauche (1/2,1/2) et pour le gardien, faire de même : partir à droite ou à gauche (1/2, 1/2).
Le reste n'est qu'une affaire de ruse (cf. ce gardien italien qui ouvrait largement son côté gauche, car il plongeait mieux à gauche qu'à droite ! Le jour où les joueurs comprirent la ruse ...)

un lien utile :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_jeux

Dernière modification par freddy (05-05-2009 22:58:55)

freddy · 04-05-2009 22:57:32

Re,

en regardant le jeu sous forme de matrice de gain du tireur (perte du soldat, car c'est un jeu à somme nulle), on s'aperçoit que la position qui minimise le risque de se faire dégommer pour le soldat est de se positionne en 1 ou 5 exclusivement. Idéalement, il doit choisir à 50 - 50 sur cent pour rester imprévisible.

Du coup, le tireur va tirer soit en A, soit en D, en choisissant au hasard, à 50 - 50 sur cent aussi.

Le tireur a 1 chance sur 4 de "gagner", le soldat a 3 chances sur 4 de ne pas perdre.

yoshi · 05-05-2009 09:21:23

Bonjour,

Négatif !
Isaacs n'est pas d'accord avec toi : 1/4 c'est trop faible et 3/4, c'est trop fort...

@+

freddy · 05-05-2009 12:23:59

Bonjour,

Isaacs a raison.

Le soldat va en fait se mettre sur 1, 3 ou 5 car choisir au hasard 1 ou 5 est trop réducteur : si le tireur croit en cette stratégie, le soldat est certain de rester vivant en se positionnant sur 3 tout le temps.

Le tireur va intégrer ce raisonnement, et tirer sur B (ou C) tout le temps.

Le soldat doit donc choisir 1, 3 ou 5 avec une proba de 1/3, de sorte que le tireur est obliger de choisir A, B, C ou D avec une porba de 25 % chacun.

Ainsi, la proba de gagner pour le tireur est de 1/3, et celle su soldat est de 2/3.

Honneur et Patrie

yoshi · 05-05-2009 16:25:44

Bonjour,

Epatant...
D'ailleurs, je suis toujours épaté quand quelqu'un répond à ce genre de colle !

Il n'y en a qu'une -introuvable d'ailleurs- qui a résisté à tous :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1246

@+

nerosson · 05-05-2009 18:23:34

Bonsoir à tous,
Quand je vous lis tous (barbichu, yoshi, Freddy), j'ai un peu l'impression d'un congrès de mathématiciens discutant de choses inaccessibles au « vulgum pecus ». Je soupçonne d'ailleurs certains d'entre vous d'être profs de maths (ça n'est pas péjoratif, il y en a eu un pour qui j'éprouvais une véritable vénération). Mais enfin, j'ai l'impression d'être un gamin qui court avec son pipeau derrière l'orphéon municipal.
Pardonnez cette digression, ça m'arrive souvent. J'en viens aux faits.
J'ai d'abord été surpris que le tireur ne pouvait tirer qu'un coup (quand je pense à ma nuit de noce...).
Yoshi va finir par me foutre dehors et je l'aurai bien cherché.
Quand j'ai lu l'intervention de Freddy du 4/5 (23.57.32), je me suis dit « oui, c'est tout à fait ça ! » Et puis j'arrive à la dernière ligne et boum ! Pourquoi 1/4 et 3/4 ? Si le soldat est en 1 ou en 5, et que le grenadier tire en A ou en D, leurs chances sont égales, non ?
Je passe à l'intervention suivante de Freddy du 5/9 (13.23.29). Alors là, on n'est plus du tout dans les maths, on est dans la psychologie (ou la psychanalyse comme dirait Freddy). Il n'est pas dit dans l'énoncé que le soldat sera assez intelligent pour comprendre que « 1 et 5 est trop réducteur » (j'ai connu des soldats qui étaient des …, des officiers aussi, d'ailleurs), ni que le tireur sera capable d'évaluer le niveau intellectuel du soldat.
En conclusion, si j'étais tireur et Freddy soldat, me doutant qu'il choisirait 1, 3 ou 5, je tirerai soit A (le 1 touché), soit C (le 3 touché), soit D (le 5 touché) , ce qui me conduit aux mêmes conclusions que Freddy : une chance sur trois pour moi, deux chances sur trois pour lui. Mais rien n'interdit de jouer plusieurs parties, ce qui fait que je finirais fatalement par avoir sa peau : à la roulette de Monte-carlo, la rouge est sorti 22 fois de suite, ce qui n'empêche pas que la 23ème fois, ça a été la noire ! Moralité : il ne faut jamais désespérer.
A propos de foot, Freddy, j'ai vu une fois un joueur tirer un penalty avec la certitude de marquer : il a tiré exactement là où était le gardien. Comme les gardiens anticipent TOUJOURS, la balle est passée comme une lettre à la poste. Bien entendu, il ne faudrait pas faire ça trop souvent.
Vous avez tous les salutations de NERO' S SON (ça me plait bien !).

yoshi · 05-05-2009 18:59:40

Salut à toi,

Nero's son : ô fils de Néron, ce n'était donc pas voulu ?

Nero's son a écrit :

Je soupçonne d'ailleurs certains d'entre vous d'être profs de maths

Je l'étais...

@+

freddy · 05-05-2009 22:12:06

freddy a écrit :

Re,
en regardant le jeu sous forme de matrice de gain du tireur (perte du soldat, car c'est un jeu à somme nulle), on s'aperçoit que la position qui minimise le risque de se faire dégommer pour le soldat est de se positionne en 1 ou 5 exclusivement. Idéalement, il doit choisir à 50 - 50 sur cent pour rester imprévisible.
Du coup, le tireur va tirer soit en A, soit en D, en choisissant au hasard, à 50 - 50 sur cent aussi.
Le tireur a 1 chance sur 4 de "gagner", le soldat a 3 chances sur 4 de ne pas perdre.

Non, je me suis en fait "gaufré" : c'est 1/2 contre 1/2, car 50%*50%+50%*50% = 50 % ... Je pensais à autre chose.

Mais pour savoir si tireur et soldat sont intelligents (on dira surtout rationnels), il suffit de se mettre à leur place, surtout à celle du soldat qui ne veut pas mourir. Je pense que ça donne des ailes.

Cela étant, avec une proba de 2/3, il n'est pas exclu qu'il soit tué du premier coup ! C'est ça le sens profond des proba. On calcule nos chances, et puis le sort décide. Pour être certain de rester en vie, il faut trouver la stratégie qui donne une proba de ganger égal à 100 %.

Par contre, comme les événements sont indépendants entre eux, tu ne risques pas de gagner à la longue, car tu ne sais jamais où je me trouve à chaque tir. C'est ça aussi la logique des proba. !

nerosson · 06-05-2009 14:24:22

Bonjour à tous,
Freddy, je ne suis pas d'accord avec le dernier paragraphe de ta récente intervention.
Après une partie, tu as deux chances sur trois d'être encore en vie : exprimé autrement : 0,66 chances sur une.
Après deux parties consécutives, tu as deux tiers de 0,66 chances, c'est à dire 0,44 chances de survivre.
Après trois parties consécutives, tu as deux tiers de 0,44 chances, c'est à dire 0,29 chances d'avoir sauvé ta peau.
C'est logique, plus on joue de parties, plus tu as de chances de mourir et, au fur et à mesure que le nombre de parties augmente, tes chances de sauver ta peau tendent vers zéro.
Si on jouait mille parties à la suite, tes chances d'être encore en vie seraient de 2/3 à la puissance mille, c'est à dire négligeables.
Professeur Yoshi, le gamin au pipeau fait appel au chef d'orchestre : n'ai-je pas raison ?
Freddy, je persiste : je pourrais avoir ta peau, comme j'aurais eu celle de Fred si le règlement avait été différent.
Avec moi, tout ce qui commence par un F , ça veut dire F...outu !
Sur ce, bonne mort ! J'irai à la morgue m'incliner sur vos dépouilles.

Dernière modification par nerosson (06-05-2009 14:32:31)

freddy · 06-05-2009 14:52:38

fils de neron,

je te confirme que la répétition ne fera rien ... Par exemple, sachant que tu as une chance sur de de tirer Pile sur un jet de pièce, penses tu qu'en rejouant à l'envie, ta chance de l'obtenir grandie ?
A chaque essai, tu a toujours une chance sur 2 d'y arriver.

Si tu y crois, je t'invite à jouer au loto immédiatement , tu finiras par gagner le gros lot ...

Je pense que tu confonds avec un schéma de bernoulli : sur 100 essais, quelle est la proba d'avoir au moins une fois Pile. là, je suis d'accord, elle augmente avec le nombre d'essais.

"Vaincre ou Périr"

Dernière modification par freddy (06-05-2009 19:29:11)

freddy · 06-05-2009 14:59:43

Par exemple, on calcule facilement qu'en jouant toutes les semaines lles 3 fois deux tirage au Loto, tu as une chace sur deux de gagner au moins une fois le gros lot sur 31.116 années !

Si tu te contentes d'un chance sur 10 , un peu plus d'un siècle devrait te suffire !

Dernière modification par freddy (06-05-2009 15:02:23)

nerosson · 06-05-2009 17:18:16

Rebonjour, Freddy,
Je t'aime bien, mais tu es têtu comme une mule !
Tu t'obstines à raisonner sur chaque partie, prise individuellement. Moi, je raisonne sur mille parties. Autrement dit, je raisonne à juste titre comme Bernouilli : Combien de chances ai-je de t'atteindre UNE SEULE FOIS en faisant MILLE PARTIES.
Ta comparaison avec le loto ne colle pas : je sais qu'il me faudra des millions d'essais pour gagner le gros lot et que, par conséquent, je perdrais en mises plus que je ne gagnerais en lots. Suppose que je joue gratuitement : je jouerais à chaque fois toutes les combinaisons et je mettrais en faillite la Française des Jeux !
Par contre, dans le cas du tireur, je suppose que les grenades me sont fournies gratuitement par le Ministère des Armées, ce qui n'implique rien d'autre qu'un supplément sur ta feuille d'impôts. Je peux donc jouer MILLE parties, et je parviendrai presque à coup sûr à t'écrabouiller UNE FOIS. Ainsi tu perdras ta vie et ton pognon.
PROFESSEUR YOSHI? AU SECOURS ! QU'EST-CE QUE TU FOUS ? DIS-LUI QUE J'AI RAISON !!!

Dernière modification par nerosson (06-05-2009 18:57:07)

freddy · 06-05-2009 19:28:31

Fils de Néron qui n'était Poincarré (ce qui est fort dommage en l'espèce),

Tu me sers un argument massu sur un plateau d'argent : sur mille parties, sais tu combien vaut la proba. que tu arrives à m'atteindre un fois exactement ?

Elle est égale à :

[tex]1000\times (\frac{2}{3})^{999}\times \frac{1}{3}[/tex] qui doit valoir ... 0 ! Tu es donc certain de perdre !

Demande à Jacques Bernoulli si tu ne me crois pas !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale

Dernière modification par freddy (06-05-2009 19:31:58)

freddy · 06-05-2009 20:16:13

Maintenant, si tu veux connaître la proba. de me toucher au moins une fois sur mille parties, elle est égale à :

[tex]1 - (\frac{2}{3})^{1000} = 1[/tex]

Là, tu es certain de me toucher, mais tu ne sais pas quand !

Ciao amigo ...

yoshi · 06-05-2009 20:51:23

Salut ô Nero 's son,

Désolé...
Je suis une tarte en probas, mais ça au moins j'ai retenu : tiens va donc lire l'excellent "L'exploitation du hasard" de la collection "Que sais-je ?" de la collection "Que sais-je ?" (Existe-t-elle encore ?)...

La probabilité est à chaque fois la même...
Pour le Pile ou Face par exemple :
- Lancer 1000 fois de suite la pièce,
- Lancer 1000 pièces simultanément...
et comptabiliser les résultats, te réserverait des surprises.

Autre exemple supposons qu'un parachute ait 1 "chance" sur 10000 de ne pas s'ouvrir, après 9999 sauts réussis, le 10000e sera-t-il obligatoirement fatal au para ?
Que nenni !
Par contre s'il y avait 10000 sauts simultanés, le verdict ne serait pas le même...
C'est comme au Loto : 100% des gagnants on tenté leur chance (tiens une utilisation abusive -enfin une tautologie- des stats pour le topic de Fred)...

C'est plus facile à faire avec des dés : procure-toi 100 dés (bon, ptêt qu'une douzaine suffiront) lance 100 fois un dé et une fois 100 dés, et compare... ;-)

@ pluche

nerosson · 07-05-2009 14:38:23

Salut, ô mathématiciens intègres !
Ce dont je m'aperçois, c'est que nos désaccords ne portent pas sur les solutions, mais sur l'énoncé même du problème.
Yoshi, tu semble croire, par ton truc de parachutes, que je soutiens que les 999 premiers essais vont avoir une influence sur les probabilités du millième. Je n'ai à aucun moment prononcé une horreur pareille ! Je connais depuis longtemps le principe fondamental : LE HASARD N'A NI MEMOIRE NI CONSCIENCE.
Quant à toi, mon bon Freddy, pose tes valises, tu es arrivé ! Dans ta toute dernière intervention (le 6, 21.16.13), tu me dis, je cite : "si tu veux parler de la proba de me toucher au moins une fois sur mille parties elle est égale à un, moins deux tiers à la puissance mille, c'est à dire : UN. Là, tu es sûr de me toucher, mais tu ne sais pas quand".
Mais depuis le début de cette interminable controverse, je n'ai jamais dit autre chose !!! Je m'en fous, de ne pas savoir quand ! Tout ce que je veux, c'est qu'on ne retrouve plus que ton chapeau !
De profundis !

freddy · 07-05-2009 15:39:29

Salut,

par ton entêtement de têtu, tu me fais écrire des bêtises : ce n'est pas à Bernoulli qu'il faut faire appel, mais à Pascal. En effet, le processus modélisé, de fait de son irréversibilité (la mort), est celui de la loi géométrique, ou de Pascal, puisque quand je suis mort, le jeu s'arrête ...

Pour finir, je ne suis pas certain qu'il soit utile qu'on donne son CV pour vérifier que ce qu'on écrit est correct ou non : l'avantage de la discipline est qu'elle s'auto-suffit, elle se vérifie toute seule.
Nulle place à des interprétations oiseuses : c'est juste ou non, c'est tout (je n'irais pas jusqu'à convoquer le théorème d'indécidabilité, c'est trop loin de nos préoccupations ici-bas !).

"croche et tiens !"
Devise du 21ième RIma

Dernière modification par freddy (09-05-2009 17:35:24)

freddy · 10-05-2009 11:51:17

Petite indication sur la Théorie des Jeux

Cette théorie est née dans le cadre du développement de l'économie mathématique en considérant les situations de conflit où chaque protagoniste connait aussi les objectifs et contraintes de l'autre protagoniste. De fait, il intègre dans sa réflexion la réflexion de l'autre, ses stratégies de "contre", ses fonctions de réaction.
C'est une approche majeure dans l'analyse de la résolution des situations conflictuelles, qui a permis de dégager beaucoup de paradoxes comportementaux ou bien des situations de cohérence individuelle conduisant à de l'incohérence collective.

Pour une jolie introduction, lire "Théorie des jeux" aux PUF (1972) de Ivar Ekeland.
L'école française est en la matière aussi forte que l'école américaine.

Dernière modification par freddy (10-05-2009 12:21:37)

thadrien · 18-06-2009 20:57:09

yoshi a écrit :

C'est plus facile à faire avec des dés : procure-toi 100 dés (bon, ptêt qu'une douzaine suffiront) lance 100 fois un dé et une fois 100 dés, et compare... ;-)

Euh... je ne vois pas la différence. Bon, faut dire, je suis une tôle en probas...

freddy · 18-06-2009 21:13:47

Re,

justement, il n'y en a pas !

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 26-04-2009 17:34:56

Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#2 04-05-2009 15:03:34

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#3 04-05-2009 17:37:23

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#4 04-05-2009 18:10:02

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#5 04-05-2009 19:58:56

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#6 04-05-2009 21:12:03

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#7 04-05-2009 22:57:32

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#8 05-05-2009 09:21:23

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#9 05-05-2009 12:23:59

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#10 05-05-2009 16:25:44

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#11 05-05-2009 18:23:34

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#12 05-05-2009 18:59:40

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#13 05-05-2009 22:12:06

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#14 06-05-2009 14:24:22

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#15 06-05-2009 14:52:38

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#16 06-05-2009 14:59:43

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#17 06-05-2009 17:18:16

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#18 06-05-2009 19:28:31

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#19 06-05-2009 20:16:13

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#20 06-05-2009 20:51:23

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#21 07-05-2009 14:38:23

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#22 07-05-2009 15:39:29

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#23 10-05-2009 11:51:17

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#24 18-06-2009 20:57:09

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

#25 18-06-2009 21:13:47

Re : Le grenadier et le soldat (bis) : stratégie mixte à mettre en oeuvre !

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