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pitai

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systeme d'equation [Résolu]

Bonjour tout le monde !
je suis actuellement en train de chercher à résoudre un système qui me pose des petits soucis !

Il faut que je discute en fonction du paramètre a le système d'équation suivant :

(a-1)x + y - z = a
2x + ay + z = 3
ax + (1- a)y + az = a²

Dois-je le traduire matriciellement pour voir si c'est un système de Cramer ?
En fait, c'est la discussion du paramètre qui me gene ...
Peut-on appliquer les déterminants ?
Je remercie d'avance les éventuelles réponses à venir

freddy

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Re : systeme d'equation [Résolu]

Bonjour,

ma suggestion : passer par une écriture matricielle type AX=B et résoudre par inversion de la matrice A. C'est par le calcul du déterminant de A que la discussion sur le paramètre se fera. A première vue, il devrait y avoir deux cas : a = 1 et a = 0.

Pour a = 0, on a bien une solution : y = 0 et x=- z = - 3

et si
a = 1 on a :
y = 1+z
x = 1-z
z quelconque.

système surdéterminé (si je me souviens bien) car x et y dépendent de z réel (je suppose, car non précisé dans l'énoncé).

Il reste à trouver les solutions fonctions de a distincts de ces deux valeurs. Bien analyser les conditions qui rendent le déterminant de A non nul (la nullité => l'endomorphisme n'est pas inversible)

+

Dernière modification par freddy (03-05-2009 14:23:00)

karimmana

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Re : systeme d'equation [Résolu]

mais pourquoi tu a iverse la matrice tu peux just
calculer le det(a) ensuit
x=det(x)/det(a)

pitai

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Re : systeme d'equation [Résolu]

bonjour freddy !
merci pour ta réponse !
Mais je voulais savoir : la discussion du paramètre a se fait avant le calcul de l'inversion ou après ?
parce que là, avec la méthode du pivot de Gauss, j'ai un peu de mal !

freddy

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Re : systeme d'equation [Résolu]

Bnsoir Pitai,

la discussion sur a se fait après avoir calculé le déterminant de A qui sera fonction de a. C'est en regardant sous quelles conditions il est non nul que tu en viendras à poser des restrictions sur la valeur de a.
La méthode du pivot de Gauss suppose que tu sais que A est inversible.

freddy

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Re : systeme d'equation [Résolu]

Re,

sauf erreur, on a detA = [tex] (a+1)^2\times(a-1) [/tex]

donc a=-1 est aussi une valeur qui conduit à un système indéterminé (cf. #9 infra).

Par contre x = 0 n'est pas à exclure, comme on le voit et l'avait calculé.

Bon courage pour la suite.

Dernière modification par freddy (03-05-2009 14:34:06)

freddy

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Re : systeme d'equation [Résolu]

mais pourquoi tu a iverse la matrice tu peux just
calculer le det(a) ensuit
x=det(x)/det(a)

Cher ami, x est un vecteur, pas une matrice carrée ...

pitai

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Re : systeme d'equation [Résolu]

bonjour freddy !
j'avais laissé cet exo en suspens et j'ai pris la décision de le finir aujourd'hui !

Tout d'abord par la méthode de Sarrus, je trouve : D = a^3 + a² - a - 1 qui en factorisant donne bien (a+1)² * (a-1)
Il faut donc exclure le cas où a=-1 et a=1 mais alors pourquoi distinguer le cas a=0 comme tu le suggères dans ton 1er post ?

et autre petite question, si j'exclus le cas a=1 ou a=-1, comment vais-je pouvoir trouver x,y ou z ?
Je m'explique : si je veux trouver toutes les solutions du système, je dois étudier : pour a ∈ ]-∞, -1[,pour a∈ ]-1;1[ et enfin pour a∈ ]1;+∞[. (Vrai?)
mais ce que je ne comprends pas, c'est que je vois mal une solution générale du système pour un a ∈ ]-∞, -1[ (par exemple) vu que selon la valeur que je prends pour a (exemple -3 ou -4), les solutions du système vont changer ...

freddy

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Re : systeme d'equation [Résolu]

Bonjour pitai,

les solutions seront tous les triplets (x,y,z) vérifiant le système ci dessus, fonction de a sauf pour a = 1 et a = - 1

J'ai donné la réponse pour a = 1. Pour a=-1, il faut faire le calcul et résoudre le système :

-2x+y-z=-1
2x-y+z=3
-x+2y-z=1

On voit bien en examinant la première et la seconde équation que le système est impossible, car
2x-y+z = 3 ou 1 !!!

Fort de ces deux valeurs distinguées, il te reste à calculer les solutions générales (par toute méthode de ton choix comme : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ramer.html ou bien : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ivot.html), fonction de a différent de -1 et +1, mais il n'y a pas lieu de faire tous les calculs en donnant au paramètre a des valeurs précises - ta vie entière n'y suffirait pas .

Je confirme t'avoir donné une mauvaise information pour a=0, qui n'est pas une valeur à distinguer ! Cela étant, elle te servira de test pour vérifier si les solutions données sont correctes.

Indique ici si tu veux les solutions, je te dirai si c'est OK.

+

Dernière modification par freddy (03-05-2009 15:00:28)

pitai

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Re : systeme d'equation [Résolu]

alalala j'abandonne !
ça fait des heures que je cherche en vain !
avec la méthode du pivot de gauss, impossible de faire apparaitre un triangle supérieur à cause du paramètre a et avec la méthode de cramer, cela me mène à des calculs interminables !
je te remercie quand même freddy !
j'ai pu au moins comprendre la méthode générale de résolution de l'exercice

freddy

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Re : systeme d'equation [Résolu]

Allons, faut pas baisser les bras comme ça !!!

Je le fais à l'ancienne,  avec le système de Cramer, le pivot risque d'embrouiller ...

On trouve, pour a distinct de -1 et + 1 :

[tex] x = \frac{2a^3 + 2a^2-a-3}{(x+1)^2(x-1)} [/tex]

[tex] y = \frac{-a^2}{(x+1)^2} [/tex]

[tex] z = \frac{a^4 - 2a^3 - a^2-a+3}{(x+1)^2(x-1)} [/tex]

Et si a = 0, on retrouve bien la solution donnée plus haut, en #2.

Pour a = - 1 => système impossible, et pour a = 1, système indéterminé.

Force et honneur !

Dernière modification par freddy (03-05-2009 21:59:06)