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lili73

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[Résolu] exercice sur les vecteurs à faire avant le weekend prochain.

soit ABC un triangle. A',B'et C' leurs milieux et O le centre du cercle citconscrit. Soit H le point défini par le vecteur OH = l'addition des vecteur OA, OB et OC (relation d'Euler).
- déterminer le vecteur AH en fonction du vectreur OA'.
- montrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
- Soit G le centre de gravité de ABC, montrer que O,H et G sont alignés.
- Soit A" le symétrique de A par rapport à O. Montrer que A" est aussi le symétrique de H par rapport à A' ( on pourra introduire le point I milieu de [HA''].

Que peut-on alors en déduire sur les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle?

Voilà c'est mon petit problème...
merci pour votre futur reponse le plus vite possible SVP avant la fin de cette semaine ça serait bien...:)

ybebert

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Re : [Résolu] exercice sur les vecteurs à faire avant le weekend prochain.

AH = OH - OA  vectoriellement parlant
AH = OA + OB + OC - OA = OB + OC vectoriellement parlant

AH = OB + OC =OA' + A'B + OA' + A'C = 2 OA'  vectoriellement parlant  car A'B + A'C = 0 A' milieu de AB

ybebert

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Re : [Résolu] exercice sur les vecteurs à faire avant le weekend prochain.

AH = 2 OA' vectoriellement parlant signifie que AH  est parallele à OA' . O est le centre du cercle circonscrit donc point de concours des médiatrices. donc OA' est perpendiculaire à BC . dobc AH est perpendiculaire à BC c'est une hauteur du triangle

De la même façon on peut démontrer BH = 2 OB' donc BH perpendiculaire à AC et BH est une hauteur du triangle.
Les hauteurs d'un triangle étant concourantes ,H est lintersection de ces hauteurs c'est àdire l'orthocentre.

lili73

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Re : [Résolu] exercice sur les vecteurs à faire avant le weekend prochain.

est ce que tu pourrait me détailler ce que tu as fait je n'ai pas tout saisie
merci quand même pour ta reponse

lili73

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Re : [Résolu] exercice sur les vecteurs à faire avant le weekend prochain.

encore une chose: comment trouve tu AH= OH-OA vectoriellement parlant???
est ce que tu pourrait me mettre quand tu change de question STP merci.

galdinx

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Re : [Résolu] exercice sur les vecteurs à faire avant le weekend prochain.

AH = AO + OH (relation élémentaired de chasles)

AO = -OA (définition des vecteurs opposés)

donc AH = AO + OH = -OA + OH = OH - OA

yoshi

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Re : [Résolu] exercice sur les vecteurs à faire avant le weekend prochain.

Bonjour lili73,

Je réponds à la place de mon petit camarade...
Ah = OH - OA vectoriellement parlant, c'est une deuxième "forme" de la relation de Chasles.
On l'obtient à partir de la forlme classique : AH = AO + OH.
Mais AO = - OA.
On a donc AH = -OA + OH = OH - OA (1).

Ybebert a écrit AH = OA + OB + OC - OA parce qu'il a simplement remplacé dans l'égalité (1) ci-dessus OH par OA + OB + OC, et il lui est resté AH = OB + OC (2).
Dans cette égalité (2), il a décomposé OB et OC, avec la première forme de la relation de Chasles, en passant par le point A'.
Ce qui lui permet d'écrire (vectoriellement parlant) que OH = 2OA'. FIn de la question posée dans le 1er tiret (Si au lieu des tirets, pour les questions, tu utilisais des n°s c'est tout naturellement qu'il te serait répondu avec des n°s de question...)

Deuxième tiret. La réponse d'Ybebert se trouve dans son 2e post, celui de 14 h 36 min 05 s

Troisième tiret. (Avec égalités vectorielles toujours)
Pour montrer que O, G, H sont alignés je vais prouver que GH = k.OH, k étant un réel.
GH = GA + AH (3) (relation de Chasles). Mais je sais que G, centre de gravité du triangle et placé aux 2/3 de la longueur de la médiane Oa en partant du sommet, donc en vecteurs AG = 2GA' ou encore GA = 2A'G que je remplace dans mon égalité (3), laquelle devient :
GH = 2A'G + AH . Là je remplace AH grâce à l'égalité à laquellle on t"avait demandé d'aboutir, AH = 2OA'.
On a alors GH = 2GA' + 2OA' (4)

je procède simplement  pour GO : GO = GA' + A'O = -A'G -OA'= - (A'G + OA') (5)

En comparant (4) et (5) on trouve GH = -2GO. Les points O,G, H sont bien alignés.

Quatrième tiret. On appelle I le milieu de [HA"] (on peut faire autrement...) et on considère le triangle AHA".
On peut utiliser les homothéties, mais aussi le prog de 3e :
I milieu de [HA"] --> A" symétrique de A par rapport à H
on sait que A" symétrique de A par rapport à O
De ces deux affirmations on conclut donc que AH = 2OI
Or, on avait montré que AH = 2OA'.
On en déduit donc que OA' = OI et que donc I = A', c'est le même point.
Donc A' milieu de [HA"], donc A" est aussi le symétrique de H par rapport au milieu A' de [BC].

Il te reste une question...
A toi de jouer.

Dernière modification par yoshi (11-09-2006 13:20:38)