Forum de mathématiques - Bibm@th.net

coolman

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Intégration par récurrence [Résolu]

Bonjour,

Je bloque, sans doute bêtement, sur l'exo suivant :
"Calculer par récurrence :
[tex] \int_0^1{(\ln{x})^ndx} [/tex]
c'est une intégrale impropre en 0, mais je me perd un peu dans la démarche. J'intègre 1 et je dérive [tex] (\ln{x})^n[/tex], mais à quel moment je passe à la limite? Et ensuite, quelle est la démarche ?

Merci d'avance

Fred

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Re : Intégration par récurrence [Résolu]

Bonsoir,

  Tu commences par faire l'intégration par parties entre a et 1, avec a dans ]0,1[.
On trouve

[tex]\int_a^1(\ln x)^n dx=\left[x(\ln x)^{n}\right]_a^1-n\int_a^1\frac{x(\ln x)^{n-1}}{x}dx[/tex]
soit
[tex]\int_a^1(\ln x)^n dx=-a(\ln a)^n-n\int_a^1(\ln x)^{n-1}dx[/tex]

On fait alors tendre a vers 0, et, en faisant tendre a vers 0, on trouve, en notant [tex]I_n[/tex] l'intégrale recherchée :

[tex]I_n = -n I_{n-1}[/tex]

Une fois trouvée cette formule de récurrence, parviens-tu à conclure?
Une méthode est de procéder de proche en proche :
-ou bien en regardant la valeur de I_1, I_2, I_3 et en essayant de trouver une formule générale;
-ou bien en exprimant [tex]I_n[/tex] en fonction de [tex]I_{n-2}[/tex], puis de [tex]I_{n-3}[/tex],
et ainsi de suite...

Fred.

coolman

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Re : Intégration par récurrence [Résolu]

Re-bonjour,

C'est ok, j'ai pigé la démarche.
Je trouve :
[tex]I_n=(-1)^nn!I_0=(-1)^nn![/tex]
car [tex]I_0=1[/tex]
Est-ce exact ?

Merci beaucoup pour le coup de main ;-)

Fred

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Re : Intégration par récurrence [Résolu]

Je suis d'accord.

Fred.