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tomvh

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Triplet pythagoriciens / nombres premiers entre eux [Résolu]

Bonjour,
je fais un travail en mathématiques sur les triplets pythagoriciens, c'-à-d l'ensemble des triplets (n,p,q)∈N*³ pour lesquels n²+p²=q². On appelle le triplet primitif ssi PGCD(n,p,q)=1. exemples: (3,4,5); (5,12,13); (20,21,29) etc

Il existe une manière géométrique de générer trois triplets pythagoriciens primitifs à partir d'un seul triplet et c'est en essayant de démontrer ceci que j'ai été coincé à un endroit. Je sais que à partir du triplet pythagoricien primitif  (n,p,q) on génère le triplet (N=n-2p+2q ; P=2n-p+2q ; Q=2n-2p+3q). Vous pouvez vérifier : N²+P²=Q² ssi n²+p²=q².
Mais pour que ce triplet soit primitif lui aussi, je dois prouver que N=n-2p+2q et P=2n-p+2q sont premiers entre eux, sachant que (n,p,q) est un triplet pythagoricien primitif. J'ai cherché et j'aboutis sur N et P sont premiers entre eux ssi 4P-5N et P-2N sont premiers, c'est-à-dire 3n-2q et 3p-2q premiers, et là je bloque.

Quelqu'un aurait-il, s'il-vous-plait, une piste à suivre, une propriété intéressante, voire même la réponse pour que je puisse continuer? Celles-ce sont seront la bienvenue. Ce n'est qu'un petit détail par rapport à le démonstration, mais je ne peut le négliger.

Pour plus d'information, si le sujet vous intéresse. Je suis prêt à envoyer mon dossier.

Tom

Fred

Administrateur

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Re : Triplet pythagoriciens / nombres premiers entre eux [Résolu]

Bonsoir Tom,

  Voici une façon de procéder, si j'ai encore les doigts en face du clavier!

Imaginons que N et P ne soient pas premiers entre eux.
On peut alors trouver un entier premier, notons le a,
tel que a|N et a|P. Remarquons qu'alors on a aussi a|Q par la relation
N²+P²=Q².

On sait alors que a|(Q-N) c'est-à-dire a divise q-n.
De même, a|(Q-P), ie a divise q-p.

Si on revient à n²+p²=q², on peut réécrire ceci en n²=q²-p²=(q-p)(q+p).

Ainsi, a divise n², et puisque a est un entier premier, a divise n.
Mais alors, puisque a divise q-n et que a divise n, a divise aussi q, et ceci contredit que n et q sont premiers entre eux.

Si tu veux, tu peux en faire un dossier mathématique du site.

Fred.

tomvh

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Re : Triplet pythagoriciens / nombres premiers entre eux [Résolu]

merci Fred,
concernant un dossier mathématique du site, je suis prêt à faire ce dossier dès que mon travail est terminé.
Tom

Ps: j'ai découvert ce site hier et je le trouve très intéressant.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Triplet pythagoriciens / nombres premiers entre eux [Résolu]

Bonjour tomvh,

Et bienvenue à bord...
Je plussoie Fred : ton dossier sera très enrichissant.
Pour ma part, je savais déjà que, étant donné n impair, [tex]\frac{n^2-1}{2}[/tex], n et [tex]\frac{n^2+1}{2}[/tex] constituaient un triplet pythagoricien, mais là visiblement, tu vas plus loin...

@+

tomvh

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Re : Triplet pythagoriciens / nombres premiers entre eux [Résolu]

(Re)bonjour,

En fait en posant le problème je n'ai pas tout écrit. A partir du triplet (n,p,q) on obtient trois triplets:
N1= n-2p+2q
P1= 2n-p+2q
Q1= 2n-2p+3q

N2= n+2p+2q
P2= 2n+p+2q
Q2= 2n-2p+3q

N3= -n+2p+2q
P3= -2n+p+2q
Q3= 2n-2p+3q

Croyant que les trois se démontraient de la même manière, je n'ai donné que le premier. Mais en fait, je ne sais pas obtenir q-p ou q-n en additionnant/soustrayant N2,P2etQ2 ou  N3,P3etQ3.
Je ne sais pas comment continuer?
Pourrais tu encore me donner un coup de main s'il te plait?
Tom

tomvh

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Re : Triplet pythagoriciens / nombres premiers entre eux [Résolu]

Yoshi,
C'est un peu hors sujet, mais pourquoi "Arx Tarpeia Capitoli proxima"?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Triplet pythagoriciens / nombres premiers entre eux [Résolu]

Salut tomvh,

Pourquoi ? = Quel sens donner à cette signature ?
Je comprends,  ça surprend et ce n'est pas la première fois que je réponds !

Donc, message subliminal... ;-)
Tu trouveras des réponses ici :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 4892#p4892 message #8
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 5316#p5316 message #4

@+

Fred

Administrateur

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Re : Triplet pythagoriciens / nombres premiers entre eux [Résolu]

Salut,

  Je viens de réfléchir pour N2,P2,Q2, j'ai une solution, mais un peu compliquée.

Si a est un premier qui divise N2,P2,Q2 :

alors a|P2-N2=n-p
et donc, puisque a|Q2, a divise 3q.

Ceci entraine que a=3 ou a divise q (le ou signifie qu'au moins une des deux propriétés est vraie).

Si a=3, alors puisque Q2-P2=q-3p, a divise 3p donc a|q.
Dans tous les cas, on a prouvé que a|q.

Maintenant, en faisant Q2+N2 et Q2-P2, on trouve que a divise 3n et a divise 3p.

Si a divise n, on a fini.
Sinon, a=3.
Mais alors, p=n+3k puisque a divise p-n, et donc,
de n²+p²=q², on tire
2n²+6kn+9k²=q².
Or, a=3 divise 6kn, 9k2, q2, donc il divise 2n², donc n.

Et ainsi 3 est un facteur commun à p,q,n.

Je n'ai pas étudié N3,P3,Q3, mais j'imagine qu'il faut faire un raisonnement du même type.

Fred.

tomvh

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Re : Triplet pythagoriciens / nombres premiers entre eux [Résolu]

un grand merci
je n'aurais jamais trouvé ça tout seul.