Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lilou

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Triangle inscrit dans un demi-cercle [Résolu]

bonjour,

j'ai un exercice auquel je ne comprends pas

pour tracer la perpendiculaire à une droite d  passant par un point A, on imagine la construction suivante :

marquer un point I sur d et tracer le cercle de centre I passant par A

ce cercle coupe d en P et Q

tracer les demi cercles de diamètre [AP] et [AQ]

ces deux demi cercles se coupent sur la droite d en un point H

[AH] est la perpendiculaire cherchéé à d

Sauriez vous expliquer pourquoi cette construction marche ?

C'est des démonstrations et je ne suis  pas douée en démonstrations si quelqu'un pouvait m'aider merci

voici la construction

http://img48.imageshack.us/img48/9936/dmmaths.jpg

merci pour votre aide

Dernière modification par lilou (01-04-2009 14:14:29)

Fred

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Re : Triangle inscrit dans un demi-cercle [Résolu]

Bonsoir Lilou,

  Je vais te répondre, mais j'espère que je serai assez clair pour toi.

Je note C_1 le cercle de diamètre AQ.
Le triangle AHQ est tel que AQ est un diamètre de C_1 et H un autre point de C_1. Il est donc rectangle
en H. Autrement dit, [tex](AH)\perp (HQ)[/tex]

On peut faire le même raisonnement avec C_2,le cercle de diamètre AP.
Le triangle AHP est rectangle en H, et donc [tex](AH)\perp (HP)[/tex]
Puisque les droites (HP) et (HQ) sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles
entre elles, et donc (HP) et (HQ) sont parallèles.

Ceci signifie que les points H,P,Q sont alignés, ou encore que H est sur la droite (PQ),
ou encore que les droites (HP), (HQ), (PH), d sont les mêmes.

Ainsi, puisqu'on sait que (AH) est perpendiculaire à (HP), on en déduit que (AH) est perpendiculaire à d.

Fred.

lilou

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Re : Triangle inscrit dans un demi-cercle [Résolu]

mci fred je savais que c'était un triangle rectangle mais c'était pour démontrer  c'est bon je dis que ca ?

Fred

Administrateur

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Re : Triangle inscrit dans un demi-cercle [Résolu]

Oui, il n'y a que cela à dire.
Mais le point crucial, en réalité, c'est de justifier que H est sur la droite d.
Ce n'est pas du tout évident....

Fred.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Triangle inscrit dans un demi-cercle [Résolu]

Salut,

1. Pour la construction de la perpendiculaire (AH), il est totalement inutile de faire intervenir soit le cercle de diamètre [AP], soit le cercle de diamètre [AQ]. Un seul suffit. Bon l'exercice est comme ça, alors fin de la parenthèse...

2. Je propose une autre démo qui me paraît bien du niveau de 4e (et donc de 3e)...
On prend H intersection des 2 cercles sans évoquer le fait que H est sur [PQ].
H est sur le cercle de diamètre [AP], donc AHP rectangle en H donc [tex]\widehat{PHA}=90^°[/tex] et (AH) perpendiculaire à (PH)
H est sur le cercle de diamètre [AQ], donc [tex]\widehat{QHA}=90^°[/tex]
Donc :  [tex]\widehat{PHA}+\widehat{QHA}=90^\circ + 90^\circ=180^\circ[/tex]
Les points P, H, Q sont donc alignés : H est sur [PQ].
Donc puisque (AH) est perpendiculaire à (PH), et que (PQ)  et (PQ) sont une seule droite, on a bien tracé la perpendiculaire passant par A à (PQ).

@+