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yoyo

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Rapport des aire de 2 disques [Résolu]

Bonjour j'aimerais savoir si vous pouvez m'aider à resoudre ce problème :
L'aire du disque inscrit dans un hexagone régulier de centre O notée . L'aire du disque circoncrit au même hexagone est notée A'. Avec [BI]=[BA] et [OI] coupe [BA] en deux droites égales.
Peut on calculer le rapport A/A' ?

Aider moi s'ils vous plaît. Merci

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 401

Re : Rapport des aire de 2 disques [Résolu]

Bonjour yoyo,

Et bienvenue à bord.

... Avec [BI]=[BA] et [OI] coupe [BA] en deux droites égales.

Là, je ne comprends rien... De plus, petite remarque : deux droites égales n'en font qu'une puisqu'il s'agit du même objet... S'il s'agit de longueurs, une droite, étant illimitée, n'a pas de longueur mesurable.
Où sont A ? B ? I ?
Mais je vais fournir une réponse concernant le rapport des aires.
Je trace un cercle de centre O et de rayon R.
j'appelle ABCDEF l'hexagone inscrit et A'B'C'D'E'F' l'hexagone circonscrit.
Les deux hexagones sont composés de 3 triangles équilatéraux. Je vais calculer l'aire de chaque hexagone eb multipliant par 6 l'aire de chaque triangle équilatéral. La hauteur du triangle équilatéral de côté a est [tex]{a \sqrt 3 \over 2}[/tex].
1. Cas de l'hexagone inscrit.
A et B sont sur le cercle. Je trace la hauteur [OH] issue de O.
L'aire du triangle équilatéral AOB  est :
[tex]\frac {AB \times OH}{2}=\frac{R \times {R \sqrt 3 \over 2}}{2}=\frac{R^2 \sqrt 3}{3}[/tex]
D'où A_1 l'aire de l'hexagone inscrit est :
[tex]A_1=\frac{R^2 \sqrt 3}{4}\times 6 = \frac{3R^2\sqrt 3}{2}[/tex]

Cas de l'hexagone circonscrit.
Chaque côté en tangent au cercle. J'appelle H' le point de tangence situé entre A' et B'.
L'aire A2 est [tex]\frac {AB \times OH}{2}[/tex].
[OH'] est la hauteur, la médiane, la médiatrice et la bissectrice de l'angle [tex]\widehat{A'OB'}[/tex]
J'ai besoin de la longueur A'B'.
OH' = R, d'où aire du triangle :
[tex]OH'=R={A'B' \sqrt3 \over 2}[/tex] donc [tex]A'B' = {2R \sqrt 3 \over 3}[/tex]
Aire du triangle A'OB' :
[tex]\frac {A'B' \times OH'}{2}=\frac{{2R \sqrt 3 \over 3} \times R}{2}=\frac{{R^2 \sqrt 3}\over 3}[/tex]
D'où A_2 l'aire de l'hexagone inscrit est :
[tex]A_2=\frac{R^2 \sqrt 3}{3}\times 6 = 2R^2\sqrt 3[/tex]

Rapport A_1/A_2:
[tex]{A_1 \over A_2}=\frac{ \frac{3R^2\sqrt 3}{2}}{ 2R^2\sqrt 3}=\frac{3R^2\sqrt 3}{2\times 2R^2\sqrt 3}={3 \over 4}[/tex]

Une remarque : ce rapport est indépendant du rayon et c'est logique
J'espère que c'est ce que tu voulais.

@+