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muimerp

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Problème de Géométrie

Bonjour.

Merci pour une piste pour le suivant problème:

Mener par le point d'intersection de deux circonférences une droite telle que la partie comprise entre les deux circonférences soit d'une longeur donné.

À bientôt.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème de Géométrie

Bonjour muimerp,

Et bienvenue parmi nous.
Ton problème n'est pas aussi simple qu'il pourrait paraître.
Je vais y réfléchir, mais avant, plusieurs remarques :
1."Le point d'intersection de deux cercles" Cela signifie qu'il n'y en a qu'un. Alors ces deux cercles sont tangents. Soient O et O' les deux centres et T le point de tangence. On a O, T, O' alignés.
2. Mais dans ce cas, les deux cercles sont-ils extérieurs l'un à l'autre ou bien l'un est-il à l'intérieur de l'autre ? Ca change beaucoup de choses.
3. Et le problème est radicalement différent si ce n'est pas le point mais l'un des points, car il y a deux points d'intersection. Cela change aussi le problème car l'un des centres peut être à l'intérieur ou à l'extérieur de (ou même sur) l'autre cercle...

Cela fait beaucoup de cas à étudier... Pas d'autre précision ?

@+

muimerp

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Re : Problème de Géométrie

Bonjour yoshi.

Je suis quand même un peu soulagé: je commençais à me prendre pour un idiot, pensant que le problème était plutôt simple.

Je vous donne l'énoncé tel que je l'ai trouvé. Néanmoins, je suis tenté de dire qu'il faut plutôt penser aux cas de deux intersections.

J'ai aussi pensé à résoudre le problème à l'envers:

Je commence par tracer la longueur donnée; étant donné que ses extrémités se trouvent l'une et l'autre sur les lignes de deux circonférences de rayons donnés, je n'aurais qu'à tracer deux circonférences de centre les extrémites de la longueur et rayons égaux aux rayons des circonférences respectives. Les centres de chaqune des circonférences qu'on cherche à dessiner se trouvent l'un sur une des circonférences et l'autre sur l'autre circonférence ainsi tracées. De plus, nous connaissons la distance entre les centres... Pas très élégant, mais je pensais me débrouiller ainsi avec des cas d'egalité de triangles...

Merci beaucoup.

muimerp

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Re : Problème de Géométrie

Bonjour.

Avez-vous repensé au problème proposé?

Merci.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème de Géométrie

Bonsoir,

Oui et non...
Mais

Les centres de chacune des circonférences qu'on cherche à dessiner se trouvent l'un sur une des circonférences et l'autre sur l'autre circonférence ainsi tracées.

Ceci n'est vrai que si les deux cercles sont tangents, intérieurement ou extérieurement... Et encore je te dis ça comme ça au pif, mais je suis sûr en tous cas à 99% que ce que tu écris correspond à un cas particulier...
Dans ce cas, l étant la longueur du segment, R1 et R2 les rayons (on suppose R1>R2) , on a respectivement R1 = l/2n R2<l/2  et  R1+R2 = l/2
Dans le cas où les cercles se coupent en deux points distincts la ligne des centres se trouve être sur la médiatrice du segment qui joint les deux points d'intersection, appelons les A et B. J'appelle [MN] le segment dont la longueur est donnée.
Supposons l= 10 cm. la droite (MN) étant la médiatrice de [AB], je trace entre M et N un segment [AB] dont la condition de longueur est à déterminer (pas réfléchi).
Les 2 cercles passent respectivement par A, M, B et A, N, B il me faut donc construire les centres des cercles circonscrits aux triangles AMB et ANB en trçant pour chaque triangle une deuxième médatrice...
Mais il faut veiller à ce que aucun des centres ne soit en dehors de [MN] d'où la condition de longueur...

Bon, j'y réfléchirai davantage maintenant qu'il est clair que tu ne te satisfais pas de ta méthode empirique.

@+

muimerp

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Re : Problème de Géométrie

Bonjour, encore une fois.

Je pense au cas de deux points d'intersection. Soient O et O' les centres des circonférences, r et r' ses rayons respectifs, I l'un des points d'intersection des circonfrérences, l la longueur donné et d la droite qui était recherchée (et qui passe par I). Soient A et B les points d'intersections de d avec les circonférences. Par O et O' je dessine les perpendiculaires à d, p et p' respectivement, qui l'intersectent sur les points P et P' respectivement. Ces points sont tels que |PI|+|IP'|=l/2. Donc notre problème peut être ramené à un autre: étant donnés deux points O et O' tels que |OO'|= la distance entre les centres des circonférences, un point I tel que |OI|=r et |O'I|=r', trouver la droite telle que les perpendiculaires à cette droite menées par O et O' l'intersectent sur les points Q et Q' tels que |QI|+|QI'|=l/2.

Et je suis toujours coincé.

Merci.

muimerp

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Re : Problème de Géométrie

Rectification du message précédent:

Je pense au cas de deux points d'intersection. Soient O et O' les centres des circonférences, r et r' ses rayons respectifs, I l'un des points d'intersection des circonfrérences, l la longueur donné et d la droite qui était recherchée (et qui passe par I). Soient A et B les points d'intersections de d avec les circonférences. Par O et O' je dessine les perpendiculaires à d, p et p' respectivement, qui l'intersectent sur les points P et P' respectivement. Ces points sont tels que |PI|+|IP'|=l/2. Donc notre problème peut être ramené à un autre: étant donnés deux points O et O' tels que |OO'|= la distance entre les centres des circonférences, un point I tel que |OI|=r et |O'I|=r', trouver la droite par I telle que les perpendiculaires à cette droite menées par O et O' l'intersectent sur les points Q et Q' tels que |QI|+|QI'|=l/2.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème de Géométrie

Bonjour,

hier soir je n'avais pas les idées claires.
La description de la contruction était pour deux cercles tangents (extérieurement).
L'idéal serait de construire le segment en dernier...
M'enfin, faute de grives on mange des merles...
Donc, voici le cas où il y a deux points d'intersection. J'ai vérifié la construction avec l'excellent logiciel de Fred, GéoLabo, à télécharger d'urgence.
Je commence par placer  deux points M et N tels que MN = l = distance donnée.
Puis sur [MN] je place un point A qui sera le 1er point d'intersection des deux cercles.
Le centre O du 1er cercle appartient donc à la médiatrice (D) de [AM] et le centre  O' du 2e cercle appartient donc à la médiatrice (D') de [AN].
Je trace ces médiatrices et je place un point O sur (D). Je trace alors le cercle de centre O passant par A.
Sur ce cercle, je place un deuxième point B distinct de A.
Le centre O' du 2e cercle est sur (D') mais aussi sur la la médiatrice de [AB].
Je trace cette médiatrice et je place O' à l'intersection des deux médiatrices.
Je trace ensuite le cercle de centre O' passant par A.
Geolabo permet (avec la petite main) de déplacer des objets. Je saisis donc  le point B que je déplace sur le cercle (O) : la figure se déforme mais MN reste constante...
J'ai répété l'expérience en déplaçant O sur (D) ! ça colle
J'ai recommencé en déplaçant A sur [MN] : RAS.

MN étant fixée, les points O, A et B sont aléatoires, mais O,A,B étant choisis, il n'y a qu'un seul point O' possible.

Maintenant je vais éfléchir en partant des cercles (dont les rayons ne peuvent excéder une certaine valeur fonction de l, faute de quoi, il n'y aurait pas de solution...).

@+