D.M. Géométrie vecteurs et colinéarité [Résolu]

Lakevs · 11-02-2009 12:09:59

J'ai crée la figure , mais après je n'arrive pas à trouver.

J'aimerai une petite aide Merci d'avance.

Un parallélogramme de centre O et I milieu de [AD] et J milieu de [AB]. M un point quelconque de (OI) et N de (OJ).

Ce problème consiste à établir que ces propriétés sont équivalentes :
A,M,N sont alignés et (DM), (BN) sont parallèles.

La base ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex] ; [tex]\overrightarrow{j}[/tex] ) avec [tex]\overrightarrow{i}=\overrightarrow{OI} [/tex] et [tex]\overrightarrow{j}=\overrightarrow{OJ} [/tex]

1) Justifier le fait qu'il existe 2 réels a et b tel que [tex]\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{i} [/tex] et[tex]\overrightarrow{
ON}=b\overrightarrow{j} [/tex]
2) Donner en fonction de a et b les coordonnées dans la base ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex] ; [tex]\overrightarrow{j}[/tex] ) des vecteurs [tex]\overrightarrow{MA}; \overrightarrow{NA}; \overrightarrow{DM}; \overrightarrow{BN} [/tex]

3) Conclure

NB: Penser à utiliser la condition analytique de colinéarité

Dernière modification par Lakevs (11-02-2009 13:35:39)

yoshi · 11-02-2009 13:02:08

Bonjour Lakevs,

Et bienvenue sur BibMa@h...
Au cas où tu ne l'aurais pas remarqué au bas de la fenêtre où on tape son message figure un petit bouton nmmé "Insérer une équation" et qui te permet d'accéder par simple clic à un "Editeur de formules mathématiques" possédant une aide en ligne intégrée sous la forme d'un petit fichier .pdf (75 ko) : ça a l'avantage de rendre les formules plus lisibles...
Ceci étant dit, plusieurs remarques :
1. Je présume que ton parallélogramme s'appelle ABCD (pas précisé)
2. Je ne vois pas comment des propriétés pourraient être "égaux" : égales déjà c'est plus français (propriété est un nom féminin) ensuite des propriétés sont vraies, sont vérifiées équivalentes... mais pas égales.
3. En outre, M étant un point quelconque de (OI), rien ne m'empêche de le placer au milieu de [OI], il en est de même pour N. On est bien d'accord
4. Et bien dans ce cas, on n'a ni A, M, N alignés, ni (DM) et (BN) parallèles... Alors ?
Autre exemple je place M tel que [tex]\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OI}[/tex] et [tex]\overrightarrow{ON}=4\overrightarrow{OJ}[/tex].
Je n'ai pas non plus A, M, N alignés.
Je renouvelle donc ma question : alors ?
5.

Justifier le fait qu'il existe 2 réels a et b tel que OM= ai et ON=bj

Là encore je présume qu'il faut lire : [tex]\overrightarrow{OM}=a\vec{i}[/tex] et [tex]\overrightarrow{ON}=b\vec{j}[/tex] ? Ca ne te gêne peut-être pas plus que ça, mais ce n'est pas le cas de ceux qui sont disposés à t'aider... ;-(

Conclusion (provisoire) : Allez, un bon mouvement (dans ton intérêt bien compris) il serait bon que tu repostes l'énoncé exact à la virgule près, sans interprétation de ta part...

Merci d'avance, au plaisir de te (re)lire,

@+

Lakevs · 11-02-2009 13:36:13

J'ai mis à jour , mon article.
Merci

yoshi · 11-02-2009 14:02:13

Bonjour,

Ah ! Comme ça c'est clair !
En plus, tu as tâté de l'éditeur de formules simple et génial de notre admin Fred ! C'est formidable...
Q1. Puisque, par hypothèse, [tex]M\in\,(OI)[/tex], alors on peut dire que O, M, I sont colinéaires. Voir ton cours pour la colinéarité de [tex]\overrightarrow{OM}\;\;\text{et}\;\;\overrightarrow{OI}[/tex]. Après on fait la même chose pour [tex]\overrightarrow{ON}\;\;\text{et}\;\;\overrightarrow{OJ}[/tex]
Q2. Dans le système d'axes considére on a A(1 ; 1);, B(1 ; -1) et D(-1 ; 1)
Avec [tex]\overrightarrow{MA}(1-a\;;\;1)\;\;\text{et}\;\;\overrightarrow{NB}(-1\;;\;-1-b)[/tex],(tu dois considérer (OI) comme l'axe des "abscisses" et (OJ) comme celui des "ordonnées"), ce n'est pas bien difficile à faire...
Maintenant il te reste à donner les coordonnées des 2 autres vecteurs
Q3 Tu dois encore écrire la condition de colinéraité des quatre vecteurs deux à deux (si les droites (DM) et (BM) sont parallèles alors les deux vecteurs [tex]\overrightarrow{DM}\;\;\text{et}\;\;\overrightarrow{BN}[/tex] vérifient aussi cette condition de colinéarité).
Tu compares les deux formules obtenues tu montres que ce sont les mêmes.
Et tu peux alors conclure que dire que << Les points A, M et N sont alignés >> d'une part et << Les droites (DM) et (BN) sont parallèles >> d'autre part sont deux propositions équivalentes, que l'une implique l'autre et réciproquement...

@+

Lakevs · 12-02-2009 09:57:48

Merci beaucoup , mais je n'aarive pas à démontrer qu'il existe 2 réels a et b tel que [tex]\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{i}[/tex] et [tex]\overrightarrow{ON}=b\overrightarrow{j}[/tex]

Je suis arrivé à expliquer que les vecteurs étaient coléaires comme tu me l'a dit , mais je bloque après.

Merci

Dernière modification par Lakevs (12-02-2009 09:58:41)

yoshi · 12-02-2009 10:07:24

Salut,

T'as oublié le plus simple : relire la définition de vecteurs colinéaires ;-)
On dit que que 2 vecteurs [tex]\vec U \;\text{et}\;\vec{V}[/tex] sont colinéaires si et seulement si [tex]\exists\, k \in \mathbb{R}^*,\, \vec U = k.\vec{V}[/tex].
IL n'a vraiment pas là de quoi fouetter un chat...

@+

Lakevs · 12-02-2009 10:16:57

Merci
Et pour la question 2, A______________B
/ /
D ----------------- C
Donc la base est à l'envers, le positif à gauche et le négatif à droite ?

yoshi · 12-02-2009 10:42:43

Bonjour,

ça n'a vraiment d'importance, même si traditionnellement l'axe des abscisses est orienté gauche-droite et celuis des ordonnées bas-haut.
Donc je placerais plutôt les points ainsi :

@+

Lakevs · 12-02-2009 11:16:44

[tex]\overrightarrow{MA}[/tex] (1-a;1)
[tex]\overrightarrow{NA}[/tex] (1;1-b)
[tex]\overrightarrow{DM}[/tex] (-1+a;1)
[tex]\overrightarrow{BN}[/tex] (1; -1 + b)

C'est ça ?
Merci.

Dernière modification par Lakevs (12-02-2009 11:17:35)

yoshi · 12-02-2009 12:23:30

Re,

Maintenant, que j'ai le dessin propre sous les yeux je vois que j'ai dû faire erreur dans les coordonnées de B et D données dans un post précédent.
Je reprends
A(1 ; 1), B(-1 ; 1), D (1 ; -1)
Avec M(a;0) et N(0;b) on obtient
[tex]\overrightarrow{MA}(a-1; -1)[/tex] et [tex]\overrightarrow{NA}(-1;b-1)[/tex]
[tex]\overrightarrow{DM}(a-1; 1)[/tex] et [tex]\overrightarrow{BN}(1;b-1)[/tex]

Les coordonnées d'un vecteur se calculent dans le sens extrémité - origine
pour [tex]\overrightarrow{DM}[/tex] :
abscisse extrémité : a ; ordonnée extrémité : 0
abscisse origine : 1 ; ordonnée origine : -1
Soit :
a - 1 ; 0 -(-1) = 1

@+

Lakevs · 12-02-2009 12:57:36

Merci.
J'ai pas trop compris ce que tu m'a expliqué pour "conclure".
LA condition de colinéarité , je la trouve où ?
Merci.

yoshi · 12-02-2009 14:33:11

Re,

Condition analytique de colinéarité :
Avec [tex]\vec{U}(x;y)\;\text{et}\;\vec{V}(x';y')[/tex] --> xy'-x'y=0

(Rappel condition d'orthogonalité : xx'+yy' = 0)

@+

Lakevs · 12-02-2009 18:57:06

Ok,

Mais avec les vecteurs DM et BN , à la fin y'a du a et b , donc je fais comment ??

Merci .

yoshi · 12-02-2009 19:09:18

M'enfin !

Tu ne vois pas que [tex]\vec{U}[/tex] représente [tex]\overrightarrow{DM}[/tex] ?
Pareil pour [tex]\vec{V}[/tex] qui représente [tex]\overrightarrow{BN}[/tex]
Donc x = a-1 et y = 1 ; x' = 1 , y' = b-1
Par conséquent xy' - x'y = (a - 1)(b - 1) - 1 = 0
La voilà ta formule : (a - 1)(b - 1) - 1 = 0

Tu as fait de même avant avec les vecteurs MA et NA et tu as déjà trouvé : (a - 1)(b - 1) - 1 = 0...
Qu'est-ce qu'il te faut de plus ?

@+

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