Miroirs paraboliques [Résolu]

dede0104 · 25-01-2009 15:04:48

Bonjours, je suis en 1ère S et j'ai un devoir pour demain mais voila je n'y comprend absolument rien et vous etes mon dernier recours. Voici l'énoncé:

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O,i,j).
On appelle P la parabole d'équation y=f(x)=x².
La droite da coupe P en un seul point Ma.
On appelle Ta la tangente en Ma à P et delta a la droite symétrique de da par la réflexion d'axe Ta.
On se propose de démontrer que toutes les droites delta a passent par un point fixe F ( ce pint est appelé foyer de la parabole P).

1) on pose a=0. Tracer les droites d0, T0 et delta 0; Donner l'équation de chacune de ces droites.
2) On pose a=1/2. Tracer la droite d1/2, déterminer l'équation de la droite T1/2 puis la tracer. Tracer la droite delta1/2 et justifier que cette droite est parallèle à l'axe (O,i).
3) Déterminer les coordonnées du point d'intersection F de delta0 et delta1/2.
4) F appartient a delta0. il reste donc à prouver que toutes les droites delta a, avec a différent de 0, passent par ce point F.
pour cela on va démontrer que la symétrique F'a de F par rapport a Ta est sur da.
a) déterminer l'équation de Ta.
b) Déterminer l'équation de la perpendiculaire T'a à T passant par F.
rappel: m et m' étant non nuls, deux droites d'équations respectives y=mx+p et y=m'x+p' spnt perpendiculaires si et seulement si mm'= -1.
c) Déterminer les coordonnées du point d'intersection Ha de Ta et T'a.
d) En déduire les coordonnées de F'a.
e) Conclure.
remarque: on peut remarquer que tous les points F'a se trouvent sur une droite fixe parallèle à (O,i) appelée directrice de la parabole P.

Merci à ceux qui prendrons le temps de m'aider le plus vite possible.

yoshi · 25-01-2009 16:26:01

Bonjour dede0104,

Et bienvenue sur BibM@th...

Je ne demanderais pas mieux que de t'aider, mais ne manque-t-il rien dans ton énoncé ?
J'ai haussé un sourcil dès la 2e ligne :

n appelle P la parabole d'équation y=f(x)=x²

Tu me vois surpris de la formulation... Je serais fort surpris que ton prof ait écrit ça : f la fonction telle que f(x) = x² et la courbe représentative des variations de cette fonction a pout équation y = x². Mais c'est un détail... Toutefois, si tu as pris des libertés avec ton énoncé, alors je me vois contraint de sursauter de nouveau en lisant :

La droite da coupe P en un seul point Ma.

Pour pouvoir dire LA droite, il faut
- soit en avoir parlé déjà avant,
- soit donner son équation ou une précision permettant de l'identifier.
D'où ma question du début...
Pour gagner du temps, je vais donc supposer que la droite da en question a pour équation y = ax +b.
Le a de da, de Ta et de Ma correspond-il au a de ax + b ?
En supposant que oui, j'ai essayé de voir la suite et j'obtiens des choses incohérentes pour a=/2.
Que sais-tu sur cette droite et que tu aurais oublié d'écrire ?
Exemple d'incohérence.
La droite d'équation y = 1/2 x + b, à partir du moment où b > -1/16 a deux points d'intersection avec P.
Por b = -1/16, elle est tangente à la parabole.

@+

dede0104 · 25-01-2009 17:12:12

Effectivement je suis désolé je vous écrit se qu'il manque:

a désigne un réel et da la droite d'équation x=a.

Voila excusez moi pour cet oubli.
merci

yoshi · 25-01-2009 17:56:37

Bonjour,

Bin voilà, c'est quand même mieux comme ça...
Mais tu n'es pas tiré d'affaire pour autant. Je ne vais pas faire l'exo à ta place, je vais te donner de quoi le faire, toi.
1. Là quand même, tu pousses... Sachant que l''équation de Da est x = a et qu'on pose a = 0, tu n'as pas trouvé l'équation de la droite D0 ? Une droite d'équation x = a est perpendiculaire à l'axe des abscisses, si a = 0, il s'agit de l'axe des ordonnées. Normalement tu as dû trouver les coordonnées de M0, l'équation de T0 et de [tex]\Delta_0[/tex].

2. x = 1/2. Tu dois être capable de tracer cette droite.
Coordonnées de M1/2. Sachant que y = x², tu reportes 1/2 à la place de x et tu trouves l'ordonnée. Dur, dur...
Equation de T1/2. Le coefficient directeur m de la tangente en un point de la courbe, c'est la valeur de la dérivée f'(x) en ce point. Ta tangente ayant pour équation générique y = mx+p, connaissant maintenant m, il te suffit de remplacer dans cette équation m par la valeur trouvée, x et y par les coordonnées du point A. Tu vas trouver y = x -1/4... Pour [tex]\Delta_{1 \over 2}[/tex], le tracé n'est pas bien difficile, il te suffit de tracer la droite symétrique de [tex]D_{1 \over 2}[/tex] par rapport à la tangente.
La justification : ta tangente est parallèle à la la droite d'équation y = x qui est la "Première bissectrice" des axes...

3. Ta droite Delta est parallèle à l'axe des x et passe par ton point M(1/2 ; 1/4), son équation est donc y = ..
Sachant que l'équation de Delta0 est x = .., il n'est vraiment pas difficile de trouver les coordonnées de l'intersection F.

Je m'arrête-là pour savoir si tu as tout pigé (complète les vides et montre ce que tu trouves !) sinon, il est inutile que j'aille plus loin.

@+

[EDIT]

on va démontrer que la symétrique F'a de F par rapport a Ta est sur da.

Comment ça, la symétrique ? F est un point et le symétrique d'un point est un point... Non ? F'a désigne-t-il autre chose ?

Dernière modification par yoshi (25-01-2009 18:02:28)

dede0104 · 25-01-2009 18:07:39

et bien j'ai trouvé D0: x=0, T0: y=0 mais delta à me pose problème !! M0 (0,0) c'est ça?? Tous ces 0 me donnent des doutes!!

yoshi · 25-01-2009 18:11:17

Re,

Oui, c'est ça...
L'équation de Delta est aussi x = 0

@+

dede0104 · 25-01-2009 18:59:28

Voilà j'ai fait cette première partie:

1) d0: x=0; T0: y=0; delta0: x=0 et M0(0,0)
2) d1/2: x=1/2, T1/2: y=x-1/4; la tangente est parallèle à la droite d'équation y=x qui est la "Première bissectrice" des axes delta1/2 et d1/2; M1/2 (1/2, 1/4)
3) delta1/2 est parallèle à l'axe des abscisses et coupe T1/2 en M(1/2, 1/4); delta1/2: y=1/4 et delta0: x=0 donc F(1/2, 1/4)

yoshi · 25-01-2009 19:15:07

Re, Re,

Oui, sauf pour F --> F(0;1/4).
4. Ma(a ; a²). f'(x)=2x donc f'(a)= ?
L'équation de Ta au point Ma(a ; a²) s'obtient également directement par y -a² = 2a(x-a)
Donc équation réduite : y =....
Coefficient directeur m' de T'a : il est tel que mm' = -1 soit 2a * m' = -1.
Tu vas ensuite utiliser la même formule pour trouver l'équation de T'a sachant qu'elle passe par F(0 ; 1/4).
Coordonnées de Ha(a/2; 0).
Après, pour F'a, ça se résume au fait que Ha est le milieu de [FF'a]. Pour les coordonnées, tu as soit-
- la formule de 3 donnant les coordonnées du milieu,
- les vecteurs :[tex]\overrightarrow{FF'a}=2\overrightarrow{FHa}[/tex]
Et la conclusion est facile à tirer, on a toujours abscisse de F'a = a, donc F'a est sur Da...

@+

dede0104 · 25-01-2009 19:29:11

je ne comprend pas pour les coordonnées de Ha

yoshi · 25-01-2009 19:33:50

B'soir,

Déjà, donne-moi les équations de Ta et T'a...

@+

dede0104 · 25-01-2009 19:36:31

Ta: y=2a(x-a)+a²
T'a: y=a²

yoshi · 25-01-2009 19:42:46

Re,

Pour Ta, tu aurais pu te fatiguer y = 2ax - a²
Pour T'a :
1 Son coeff. dir. m', je te le rappelle, est tel que 2a * m' = -1 (puisque c'est une perpendiculaire à Ta).
Alors m'= ... ?
2. Le coeff trouvé tu écris que la droite passe par F(0 ; 1/4) avec la formule que tu connais

Equation réduite de T'a ?

++

dede0104 · 25-01-2009 19:48:05

T'a: y=-a²

yoshi · 25-01-2009 19:51:59

Allons, allons...

C'est faux !
Si 2a * m' = -1, tu ne vas me dire que t'es pas fichu de trouver m' ? Si ?
Alors, on retourne en 6e : si j'achète 3 paquets de bonbons pour 6 €, combien coûte un paquet ?
Ce qu'on leur apprend ensuite à écrire, x étant le prix du paquet : 3 * x = 6...

Alors ?

dede0104 · 25-01-2009 19:59:07

m'=-1/2a

dede0104 · 25-01-2009 20:07:36

maintenant je trouve y=3/2a²

yoshi · 25-01-2009 20:13:31

m'=-1/2a.... Ah quand même !

2a * m' = -1 donc [tex]m'={-1 \over 2a}[/tex]
Mais l'équation est fausse.
J'écris que T'a passe passe par F(0 ; 1/4) : T'a : [tex]y-{1 \over 4}={-1 \over 2a}(x-0)[/tex] soit encore [tex]y={-1 \over 2a}x+{1 \over 4}[/tex]
Coordonnées du point d'intersection Ha.
Il appartient aux deux droites Ta et T'a ses coordonnées vérifient donc les deux équations :
[tex]y=2ax-a^2[/tex]
[tex]y={-1 \over 2a}x+{1 \over 4}[/tex]
Tu as donc un système de deux équations à 2 inconnues que tu résous par substitution :
[tex]2ax-a^2={-1 \over 2a}x+{1 \over 4}[/tex]
Tu passes les x du même côté et le a² de l'autre côté.
La résolution la plus simple : à ce moment on met toyt sur le même dénominateur des deux côtés (4a), puis tu dis que comme a est différent de 0, tu multiplies les deux membres par 4a ... et pfuittt plus de dénominateurs pour emm... le monde.
On obtient :
[tex]8a^2x+2x=4a^3+a[/tex]
On met x en facteur, on écrit x = ... et on simplifie la fraction obtenue par 4a²+1, qui comme a est différent de 0 est aussi différent de 0.
Ce x est l'abscisse de Ha que tu reportes dans l'équation de Ta pour obtenir l'ordonnée (--> 0).
Pour la suite, voir le message #8 au dessus.

@+

dede0104 · 25-01-2009 20:28:57

j'obtiens bien 8a²x+2x=4a^3+a mais pour la suite je me perd dans le calcul donc je bloque

dede0104 · 25-01-2009 20:37:34

je croi que j'y suis:
x= (4a²+1)/(8a+2)

yoshi · 25-01-2009 20:42:33

Nan,

[tex]8a^2x+2x=4a^3+a\Longrightarrow 2x(4a^2+1)=a(4a^2+1)[/tex]
A partir de là, c'est mieux, non ?
Si on le fait comme ça, on peut simplifier tout de suite par 4a²+1 en précisant pourquoi on a ce droit.

@+

dede0104 · 25-01-2009 20:44:58

donc ça fait x=a/2 (+0) donc Ha(a/2; 0) j'ai compri!!

dede0104 · 25-01-2009 20:54:21

heu... dernier souci j'utilise la formule de 3 mais je trouve F'a(-4;0) c'est ça ??? j'ai un doute!

yoshi · 25-01-2009 21:05:38

heu..

Ca veut dire quoi le (+0) ?

x=a/2 (+0)

T'as raison de douter...
on a x = a/2 et ce point Ha est sur Ta d'équation y = 2ax-a², d'où y = 2a * a/2 - a² = a² - a² = 0
Et Ha(a/2 ; 0).
Comme F(0 ; 1/4), alors [tex]\overrightarrow{FH_a}\left({a \over 2} - 0\;;\;0-{1 \over 4}\right)[/tex]
Soit [tex]\overrightarrow{FH_a}\left({a \over 2}\;;\;-{1 \over 4}\right)[/tex] et [tex]2\overrightarrow{FH_a}\left(a\;;\;-{1 \over 2}\right)[/tex]
Et pour obtenir les coordonnées de F'a(x ; y) :[tex]\overrightarrow{FF'_a}\left(x\;;\;y-{1 \over 4}\right)[/tex] et en écrivant que ce vecteur est égal au double calculé ci-dessus.
Tu écris alors que les premières coordonnées sont égales entre elles, tout comme les 2e.
Ou alors tu expliques aussi pourquoi Ha est milieu de [FF'a], tu poses également F'a(x ; y) et tu écris que :
[tex]\frac{0+x}{2}={a \over 2}[/tex] et que
[tex]\frac{{1 \over 4}+y}{ 2}=0[/tex]

Volià, tu as le choix de la méthode.

Cette fois, je tire ma révérence...

@+

dede0104 · 25-01-2009 21:14:47

MERCI!!! j'ai compri cette fin.
bonne soirée

yoshi · 25-01-2009 22:20:26

Salut,

Tu n'as pas l'air d'être repassé...
Donc, à la réflexion, j'ajoute que j'ose espérer qu'en rédigeant, tu as relu l'énoncé (comme tu dois toujours le faire en pareille circonstance) et que tu es tombé en arrêt sur :

On appelle Ta la tangente en Ma à P et delta a la droite symétrique de da par la réflexion d'axe Ta.
On se propose de démontrer que toutes les droites delta a passent par un point fixe F ( ce point est appelé foyer de la parabole P).

Je ne t'ai donné qu'une partie de la conclusion : que le symétrique de F par rapport à n'importe quelle tangente Ta appartient à Da.
Toute droite [tex]\Delta_a[/tex] symétrique de Da par rapport à Ta passe-t-elle par F ?
1. Le point Ma de Da appartient à Ta, il est donc invariant dans la réflexion considérée, il est son propre symétrique, donc.
2. Le symétrique du point F par rapport à Ta est toujours sur Da, on vient de le montrer.
Conclusion.
La droite symétrique [tex]\Delta_a[/tex] de la droite Da, droite qu'on peut aussi appeler (MaF'a), par rapport à Ta, est donc la droite qui passe par les deux symétriques respectifs de Ma et F'a, soit (MaF).
Et comme F est fixe, on alors bien montré que toutes les droites delta a passent par un point fixe F.

Cette fois, en règle avec ma conscience (si tu t'y étais pris plus tôt, on n'en serait pas là...), je m'en vais pour de bon...

@+

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