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pitai

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Messages : 11

suite récurrente [Résolu]

Bonjour tout le monde.
J'ai actuellement un souci à résoudre un exercice portant sur les suites récurrente.

On définit : f(x) =  (x²+1) / (x-1).
1- Etudier en fonction de son terme initial u0, le comportement de la suite définie par la relation de récurrence :
Pour tout n, u(n+1)= f(un)

Donc, j'ai tout d'abord étudier la fonction f :
elle est définie sur R privé de 1 et son tableau de variations donne :

sur ]-∞, 1-√2 ],   f est croisssante.
sur [1-√2 , 1  [,   f est décroissante
sur ]1, 1+√2   ],   f est décroissante
sur [1+√2, +∞[,    f est croissante.

J'ai également déterminé les points fixes : x= -1 et étudier le signe de f(x) - x.
f(x) - x >0 pour x ϵ ]-∞, -1] et ]1, +∞[
f(x) -x  <0 pour x ϵ [-1, 1[.

La suite me pose problème.
Il me semble qu'il faut que je détermine les intervalles stables sur lesquels f est monotone ou f(x)-x est de signe constant avant de pouvoir discuter en fonction de u0 du comportement de la suite.

Dans ce cas là, les intervalles stables sont les 4 intervalles écrits en gras ci-dessus (je me trompe?).
Comment faire la discussion ensuite ?

Merci d'avance pour vos éventuelles réponses.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : suite récurrente [Résolu]

Salut,

  Lorsque tu étudies la fonction f et que tu cherches les intervalles stables, il te manque une information : le calcul de la valeur de f ou des limites de f aux bornes.
Ici, on a

[tex]f(1-\sqrt{2})=2(1-\sqrt{2})\leq 1-\sqrt{2}[/tex] et [tex]\lim_{-\infty}f=-\infty[/tex]
Ceci te permet de dire que l'intervalle [tex] ]-\infty, 1-\sqrt{2} [/tex] est stable.
De même, tu peux vérifier que l'intervalle [tex] [1+\sqrt{2},+\infty[ [/tex] est stable.
Il y a aussi le point -1 qui joue un rôle crucial. On doit alors découper en plusieurs cas :

1. u0 est élément de [tex] ]-\infty,-1] [/tex]. Cet intervalle est stable par f et on connait le signe de f(x)-x sur cet intervalle. Avec les méthodes usuelles, on peut étudier la suite récurrente sur cet intervalle.

2. u0 est élément de [tex] ]-1,1-\sqrt{2} ] [/tex]. C'est la même chose.

3. u0 est élément de [tex] ]1-\sqrt{2}, 1[/tex]. Alors, d'après le tableau de variations,
u1=f(u0) est élément de [tex] ]-\înfty, 2-2\sqrt{2} ] [/tex]. On se retrouve dans un des deux premiers cas.

4. u0 est élement de [tex] ]1,1+\sqrt{2} [/tex] Alors u1=f(u0) est élément de [tex] [1+\sqrt 2,+\infty[ [/tex], on se ramène au cas 5.

5. u0 est élément de [tex] [1+\sqrt{2},+\infty[ [/tex]. Alors cet intervalle est stable et on connait le signe de f(x)-x
sur cet intervalle. On peut utiliser les méthodes du cours.

A+
Fred.