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Eric

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Problème avec une boite de conserve cylindrique [Résolu]

Bonjour ,
Je suis bloqué sur un problème sur les dérivations , pouvez vous m'aider sil vous plait.
Problème:
Quelles dimensions (diamètre et hauteur) donner à une boite de conserve cylindrique fermée de 1 litre pour utiliser le moins de matière première possible pour la fabriquer ?
On suppose que la boite est réalisée avec un seul matériau d'épaisseur constante .

On me demande de commencer par étudier les variations de la fonction f(x)=(pi*x^3+8x)/2x sur {R} privé de 0.

J'ai calculé la dérivé et j'ai trouvé f'(x)=(3*pi-pi*x)/2.
J'ai trouvé la fonction croissante sur l'intervalle 3 et + l'infinie mais je n'arrive pas à trouvé de lien avec la problèmatique.
Merci de votre précieuse aide .

Dernière modification par Eric (04-01-2009 14:41:22)

yoshi

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Re : Problème avec une boite de conserve cylindrique [Résolu]

Re,

Désolé, ce n'est pas clair :
f(x)=(pi*x^3+8x)/2x ? Sûr ? Ou bien pi*(x^3+8x)/2x ?

D'autre part :
si [tex]f(x)=\frac{\pi x^3+8x}{2x}[/tex] alors [tex]f(x)=\frac{\pi x^2+8}{2}[/tex]
D'où la dérivée [tex]f'(x)=\pi x[/tex].
Alors ?

Ensuite : n'y a-t-il aucune autre donnée dans ton problème ? Que représente x ? le rayon ? la hauteur ?
J'écrirais Volume = 1 dm^3 et la fonction f représentant les variations de la surface de métal (2 disques + surface latérale) en fonction du rayon et de la hauteur.
J'appelle x le rayon et h la hauteur...
Volume V : [tex]V=\pi x^2h=1[/tex]
d'où [tex]h=\frac{1}{\pi x^2}[/tex]

Surface totale :
Pour moi, fermée signifie qu'il y a un couvercle et un fond --> 2 disques de rayon x : surface 2\pi x².
Surface latérale : c'est celle d'un rectangle de dimensions h et la longueur du cercle : 2\pi x.
[tex]f(x) = 2\pi x^2+2\pi x\times \frac{1}{\pi x^2}= 2\pi x^2+\frac{2}{x}[/tex]

[tex]f'(x)=4\pi x-\frac{2}{x^2}=\frac{4\pi x^3-2}{x^2}=\frac{2(\pi x^3-1)}{x^2}=\frac{2(x\sqrt[3]{\pi} -1)(x^2\sqrt[3]{\pi^2}x+x\sqrt[3]{\pi}+1)}{x^2}[/tex]

Quelque chose m'échappe dans la fonction à étudier en préliminaire..

@+

Eric

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Re : Problème avec une boite de conserve cylindrique [Résolu]

[tex]f(x)=\frac{\pi x^3+8x}{2x}[/tex] défénie sur R*+ (j'ai oublier de le préciser )
C'est bien cette fonction , il n'y pas d'autre indication dans l'énoncé juste que cette fonction .
I faut que je donne moi même la signification de x et de la fonction .
J'avais oublier de développer la fonction pour calculer la dérivé xD
Merci de ta réponse .

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème avec une boite de conserve cylindrique [Résolu]

RE,

La fonction fournie est fausse : elle est strictement croissante...
Je crois qu'il faut prendre x diamètre et h hauteur :
Volume
[tex]\frac{\pi x^2}{4}\times h = 1[/tex] D'où [tex]h = \frac{4}{\pi x^2}[/tex]

Surface :
[tex]f(x)=2\frac{\pi x^2}{4}+\pi x\times  \frac{4}{\pi x^2}=\frac{\pi x^2}{2}+\frac{4}{x}=\frac{\pi x^3+8}{2x}[/tex]

Dérivée :
[tex]f'(x)=\frac{1}{2}\times \frac{3\pi x^2\times x -(\pi x^3+8)\times 1}{x^2}=\frac{\pi x^3 - 4}{x^2}[/tex]

@+

Eric

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Re : Problème avec une boite de conserve cylindrique [Résolu]

Alors y doit peut être avoir un érreur d'énoncer . Il suffit après d'étudier le signe pour trouver les dimensions?
Merci encore .

yoshi

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Re : Problème avec une boite de conserve cylindrique [Résolu]

Salut,

Cette dérivée, par son signe, te permettra de connaître les variations de la surface en fonction du diamètre (puisque la hauteur a été exprimée en fonction du diamètre).
Cette fonction va passer par un minimum, donné par l'un des zéros de la dérivée : [tex]x=\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}\approx 1,08[/tex] dm... Et tu auras une valeur du diamètre à partir de laquelle, tu en tireras la hauteur...

@+

Eric

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Re : Problème avec une boite de conserve cylindrique [Résolu]

a Okey .
Merci beaucoup.

Eric

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Re : Problème avec une boite de conserve cylindrique [Résolu]

J'ai trouvé une hauteur de 4/(pi*x²) dm ou x=racine cubique de 4/pi et un diamètre de [tex]x=\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}\approx 1,08[/tex] dm

Est ce les bons résultats ? Parce que je trouve sa un peu grosse comme écriture .
Merci encore.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème avec une boite de conserve cylindrique [Résolu]

RE,

Non, ça colle, il ne faut pas oublier que x c'est le diamètre, soit 0,54 dm de rayon....
[tex]V = \pi\times 0,54^2 \times 1,08 \approx 0,989\; dm^3[/tex]
Après tout, 1 L est contenu dans un cube de 1 dm de côté, on n'en est pas loin...

@+

Eric

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Re : Problème avec une boite de conserve cylindrique [Résolu]

Ok sa marche .
Merci de ton aide .