Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Eric

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Problème dérivation avec des pièrres précieuses [Résolu]

Bonjour ,
Je suis bloqué sur un problème sur les dérivations , pouvez vous m'aider sil vous plait.
Problème:
On admet que la valeur en euros de topazes est proportionnelle au carré de leur masse . Une topaze de 20 grammes tombe et se casse en deux. Quel est le pourcentage maximal de dépréciation de la valeur de topaze ?

J'ai fais ceci :

V= k M²    k constante 
          M² masse au carré
          V valeur proportionnelle au carré de la masse

M= x + y     M masse des 2 morceaux et x masse d'un des morceaux
V1= kx²  V1 valeur premier morceau
V2= kx²    V2 valeur deuxième morceau

V1+V2=k x²+ky²= k(x²+y²)=k((M-x)²+x²)=k((20+x)²+x²) j'arrive à deux inconnus je ne sais pas comment continuer .
Merci de votre précieuse aide.

Dernière modification par Eric (03-01-2009 11:03:26)

Eric

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Re : Problème dérivation avec des pièrres précieuses [Résolu]

Personne?
Si il y a un truc que vous comprenez pas dites ....

yoshi

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Re : Problème dérivation avec des pièrres précieuses [Résolu]

Bonjour,

Et bienvenue sur BibM@th...
La valeur des deux morceaux vaudra :
[tex]V(x)=kx^2+k(20-x)^2=kx^2+k(400-40x+x^2)=kx^2+400k-40kx+kx^2=2kx^2-40kx+400k[/tex]
La valeur de départ est [tex]V_d=400k[/tex]
Le % de dépréciation D(x) est obtenu par :
[tex]D(x)=100\times\frac{V_d-V(x)}{V_d}[/tex].
Maintenant on calcule :
[tex]D(x)=100\times\frac{400k-2kx^2+40kx-400k}{400k}=\frac{-2kx^2+40kx}{4k}=\frac{-x^2+20x}{2}[/tex]
Maintenant on cherche pour quelle valeur de x est atteint le maximum de cette fonction, pour cela on calcule la dérivée :
[tex]D'(x)=\frac{-2x+20}{2}=-x+10[/tex]
Et on trouve x = 10.
[tex]D(10)=\frac{-100+200}{2}=50[/tex]. Soit 50%...

Voilà, je ne sais pas ce que ça vaut ; intuitivement, ça a l'air cohérent.

@+

Eric

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Re : Problème dérivation avec des pièrres précieuses [Résolu]

Merci beaucoup de ta réponse .
On en conclue donc que la pourcentage maximal est de 50 %. Juste une précision le "x" de tes fonctions représente quoi exactement ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème dérivation avec des pièrres précieuses [Résolu]

Re,

Je ,'ai fait qu'employer tes notations... x est la masse (en g) de l'un des morceaux et 20-x la masse de l'autre.
La dépréciation maximum est atteint si les 2 morceaux sont de même masse.

Sans algèbre cette fois, juste du raisonnement pur.
Si chaque morceau fait la moitié de la masse d'origine, chacun d'entre eux ne vaut plus que le (1/2)² soit le 1/4 de la valeur intacte.
1/4+1/4=1/2 Dépréciation 1/2 soit 50%.
Examinons une casse 5 g + 15 g
5 g = 1/4 de 20 g  Valeur résiduelle 1/16 de la valeur initiale..
15 g = 3/4 de 20 g. Valeur résiduelle 9/16 de la valeur initiale
Total 10/16 soit 5/8 soit 0,625 ou encore 62,5 %. Dépréciation : 37,5%.
Ca colle...

@+
.

Eric

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Re : Problème dérivation avec des pièrres précieuses [Résolu]

A okey .
Merci pour ces précision ^^