petit soucis avec des fonctions [Résolu]

tamara · 03-01-2009 19:45:07

bonjour,

tout d'abord je vous souhaite une bonne année 2009. Ensuite j'ai vraiment besoin de votre aide pour un DM de math voici les questions sur lesquels j'ai des problèmes svp aidez moi:

on a une fonction f sous la forme :
[tex]f(x)=-x+4+\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)[/tex] définit sur [tex]]1;+\infty[[/tex]

montrer que pour tout x de ]1;+ [tex]\infty[/tex] [ [tex]\frac{x+1}{x-1}>1[/tex] et en déduire la position de C qui est le courbe de F par rapport a D d'équation y=-x+4 qui est l'asymptote oblique de C en + [tex]\infty[/tex]

puis déterminer les coordonnées du point C où la tangente à la courbe a un coefficient directeur égal à [tex]\frac{-5}{3}[/tex] et donner l'équation de cette tangente delta ( désolé j'ai pas trouvé le symbole)

voila lorsque je calcule f'(x) je ne trouve pas la meme équation de dans l'exercice et je n'arrive pas à trouver mon erreur voila ce queje fait:

on U= [tex]\frac{x+1}{x-1}[/tex] et U'= [tex]\frac{1\prod^{}_{\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\prod^{}_{1}}}{\left(x-1\right)^2}[/tex]

donc U'= [tex]\frac{-x-1}{x-1}[/tex]

et donc f'(x)= -1+ [tex]\frac{-x-1}{x-1\frac{x+1}{x-1}}[/tex]

et je trouve [tex]\frac{-x²}{\left(x+1\right)\prod^{}_{\left(x-1\right)}}[/tex]

pour la deuxieme question il faut que je démontre que [tex]\frac{x+1}{x-1}[/tex] soit positif pour que ln existe c'est sa ??

et pour la derniere question j'avoue que je suis perdu il faut que je calcule f [tex]\left(\frac{-5}{3}\right)[/tex] et f' [tex]\left(\frac{-5}{3}\right)[/tex] c'est sa ???

le signe [tex]\prod^{}_{}[/tex] c'était le signe multiplié dsl je ne me suis pas encore familiarisé avec l'édituer d'équation

svp aidez moi

yoshi · 03-01-2009 21:03:32

Bonsoir,

Tu as ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=139 un problème similaire. Va donc y jeter un oeil.
Tout d'abord :
[tex]\frac{x+1}{x-1}>1[/tex] sur [tex]]1\,;\,+\infty[[/tex]

[tex]\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}[/tex]
Tu vas ainsi pouvoir étudier la limite de l'expression quand x --> +oo, puis celle du log de l'expression et ainsi montrer que f(x)-(x+1) --> 0 quand x --> +oo prouvant ainsi qu'il y a asymptote oblique et le signe de f(x)-(-x+4) te donnera la position de la courbe par rapport à son asymptote = - en dessous, + au dessus...
Il y a de plus 2 asymptotes verticales d'équations x = -1 et x = 1.

Ta dérivée :
[tex]\left(\frac{x+1}{x-1}\right)'=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}[/tex]
Déjà, il y a eu un problème de signe : (x-1)-(x+1) = x-1-x-1 = -2.
Ensuite
[tex]\left(\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right)'=\frac{\frac{-2}{(x-1)^2}}{\frac{x+1}{x-1}}=\frac{-2}{(x-1)^2}\times \frac{x-1}{x+1}=\frac{-2}{(x-1)(x+1)}[/tex]

Et enfin :
[tex]f'(x)=-1-\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{-x^2+1-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{-x^2-1}{(x-1)(x+1)}=-\frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}[/tex]

J'aurais calculé ça comme ça :
[tex]f(x)=-x+4+\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=-x+4+\ln(x+1)-\ln(x-1)[/tex]
D'où
[tex]f'(x)=-1+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=\frac{-(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{(x-1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{-x^2+1+x-1-x-1}{(x-1)(x+1)}[/tex]
Nettement moins douloureux, non ?

Oui, pour que ln existe il faut que la fraction soit soit toujours strictement positive...

NB : Même si tu n'étudies cette fonction que sur ]1 ; +oo[, le domaine de définition réel est [tex]]-\infty\,;\,-1[\;\cup\;]1\,;\,+\infty[[/tex]...

Le coeff directeur de la tangente en un point, est la valeur de la dérivée en ce point...

Avec ça, tu dois t'en sortir...

@+

tamara · 03-01-2009 21:09:17

merci je pense que je devrais y arrivé merci merci merci

tamara · 04-01-2009 15:18:54

pour la derniere question j'ai calculé f' [tex]\left(\frac{-5}{3}\right)[/tex] j'ai obtenu [tex]\frac{3}{-8}[/tex] c'est sa qu'il faut faire??? mais aprés je fait quoi pour obtenir l'équation de la tangente ??

yoshi · 04-01-2009 15:56:59

Re,

Pas d'accord.
[tex]f'(x)=-\frac{x^2+1}{x^2-1}[/tex]
Tu cherches x tel que [tex]f'(x)=-\frac{5}{3}[/tex] et non [tex]f'\left(-\frac{5}{3}\right)[/tex]
[tex]-\frac{x^2+1}{x^2-1}=-\frac{5}{3}[/tex]
Soit :
[tex]\frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{5}{3}[/tex]
Soit encore :
[tex]5(x^2-1)=3(x^2+1)\Longleftrightarrow 5(x^2-1)-3(x^2+1)=0[/tex]
Après développement et réduction :
[tex]2x^2-8=0[/tex]
[tex]x^2-4=0 \Longleftrightarrow (x-2)(x+2)=0[/tex]
Seule solution sur le domaine d'étude: x = 2
Avec [tex]f(3)= -2+4+\ln(2+1)-\ln(2-1)=2+\ln(3)[/tex]

Equation de la Tangente au point de coordonnées [tex](2\;;\;2+\ln(3))[/tex]
L'équation de la droite (D) de coefficient directeur m et passant par le point de coordonnées (a ; b) est y-b = m(x-a)

A toi de jouer.

@+

Dernière modification par yoshi (04-01-2009 17:30:13)

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