Forum de mathématiques - Bibm@th.net

picatshou

Invité

Convexité et continuité [Résolu]

bonsoir,

je m'excuse ,ce n'est pas exprès que j'ai posé ma question de cette manière là .mais je suis tellement perturbé que j'ai oublié même de dire bonsoir .

Et ce qui concerne ma question j'ai essayé par plusieurs méthode pour la résoudre par:
la définition de la convexité, la dérivabilité...
Mais je n'ai rien trouvé alors ,s'il vous plait et si le fait de me répondre à ma question ne vous dérange pas :comment montrer qu'une fonction convexe est obligatoirement continue ?

Merci d'avance.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Convexité et continuité [Résolu]

Bonsoir,

ok...
Pourquoi voudrais-tu que répondre à une question claire, bien posée nous dérange ? BibM@th est là pour ça... ;-)
Mais, là je ne suis pas compétent (j'ai tout oublié), il faut attendre Fred ou Barbichu.
Et pour te permettre de patienter, quelques liens :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_convexe
http://wapedia.mobi/fr/Fonction_convexe
http://www.math.jussieu.fr/~romagny/115/exo_j.pdf

Et la banque d'exercices (corrigés) de BibM@th :
http://www.bibmath.net/exercices/bde/an … exeeno.pdf
http://www.bibmath.net/exercices/bde/an … execor.pdf

@+

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Convexité et continuité [Résolu]

Bonsoir,

  La continuité est une conséquence de la définition suivante de la convexité : une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si, pour tout a de I, la fonction [tex]x\mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex] est croissante.

On fixe alors a dans I, et on étudie le taux d'accroissement [tex]\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex] pour x qui tend vers a par valeurs inférieures. Alors, ce taux d'accroissement est croissant et est borné (par [tex]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/tex] pour n'importe quel b>a. Ainsi, il admet une limite (comme toute fonction croissante majorée), ce qui entraine que la fonction admet une dérivée à gauche en a.
De même, f admet une dérivée à droite en a. Et une fonction qui admet une dérivée à droite et à gauche
est continue.

Remarque que ceci n'est vrai que si l'intervalle I est ouvert. Une fonction convexe sur un intervalle fermé n'est pas forcément continu aux bornes de cet intervalle.

Fred.