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koch

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convergence dans Lp

salut tous le monde

svp j'ai une démonstration que j'arrive pâs à faire, si quelqu'un peut m'aider, la voila :

soit (fn) ,(n naturel) une suite de Lp(O),(Lp= espace des fonctions p-integrables), O un ouvert de R

supposons qu’il existe L  telle que  fn tand vers L dans D’(O) (espace de distributions)

Montrer que: si les fn  sont bornées  dans Lp(O), alors L appartient à Lp(O),

Fred

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Re : convergence dans Lp

Salut,

  Et on te propose cela sans indication???
Ca n'a pas l'air si facile.
Mon premier reflexe serait de montrer que la suite est de Cauchy....

Fred.

koch

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Re : convergence dans Lp

pour les indication: notre prof nous a dit de penser au théorème
de Banach-steinhause mais ça reste toujours flue pour mois

Fred

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Re : convergence dans Lp

Bon... Je vais te donner une idee de comment on pourrait s'y prendre, mais je n'ai ni le temps ni les moyens de verifier ici.

Je vais supposer p=1.
La distribution limite L est d'ordre 0 car la suite (fn) est bornee dans L^1.
On va fixer un compact K de O et on va noter [tex]T_n[/tex] la distribution associee a [tex]f_n[/tex]
On sait que
[tex]T_n(phi)\to L(\phi)[/tex] pour tout [tex]\phi[/tex]
fonction test.
Par un argument du type Banach-Steinhaus,
on doit pouvoir prouver qu'il existe une suite
[tex]\epsilon_n[/tex] tendant vers 0 telle que
[tex] |T_n(\phi)-L(\phi)|\leq \epsilon_n \|\phi\|_\infty[/tex]
pour toute fonction [tex]\phi[/tex] de classe C infini
a support dans le compact K.

La suite.... beaucoup plus tard!

Fred.

Fred

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Re : convergence dans Lp

Je reprends, mais ce sera toujours aussi imprecis.

Si on fixe un [tex]\epsilon>0[/tex], il sera possible de trouver un entier
N, tel que, pour n,m>N, on a
[tex]T_n(\phi)-T_m(\phi)|<\epsilon |\phi|_\infty.[/tex]

L'ideal serait d'appliquer ceci pour [tex]\phi[/tex] le signe de f_n -f_m multiplie
par l'indicatrice de K. Bien sur, ce n'est pas une fonction Cinfini, mais on peut l'approcher par de telles fonctions, on  passe a  la limite en utilisant le theoreme de converge dominee, et on deduit de l'inegalite precedente :
[tex]\| f_n-f_m\|_\infty <\epsilon[/tex]

Il n'y a plus qu' a completer les details manquants, en esperant que cela fonctionne!

Fred.