Forum de mathématiques - Bibm@th.net

miss du 42

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DM terminale S [Résolu]

Bonsoir à toute l'équipe !

J'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour commencer un exercice de mon DM ! Voici l'énoncé :

Soit h la fonction définie sur  [tex][ - \pi/2 ; \pi /2 ][/tex]
par : h(x)= e^(-x) * cos x

Démontrer que h'(x)= [tex] -\sqrt 2\,cos(x - {\pi}/{4})\;e^ {-x}[/tex].
je ne comprend pas comment on doit trouver cela , surement faut t-il partir de la dérivé de la fonction mais je ne trouve pas .

Merci de me répondre, à la prochaine !

yoshi

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Re : DM terminale S [Résolu]

Salut,

Bin, je suis déçu : je pensais que ça allait être plus subtil que ça... ;-)
Bon, en tout cas voilà.
Il faut bien commencer par la calculer cette dérivée :
[tex]h'(x)=-e^{-x}\cos(x)-e^{-x}\sin(x)=-(\cos x +\sin x)e^{-x}[/tex]
Arrivé à ce point, on jette un oeil sur l'énoncé et on voit [tex]{\pi \over 4}\;et\; \sqrt 2[/tex]...
Là normalement, ça doit faire tilt : [tex]\cos({\pi \over 4})\;=\;\sin({\pi \over 4})\;=\;{\sqrt 2 \over 2}[/tex]
D'autre part :
[tex]1=\sqrt 2 \times {\sqrt 2 \over 2}[/tex]   et    [tex]\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)[/tex]

Donc je reprends et j'écris :
[tex]h'(x)=-(\cos x +\sin x)\,e^{-x}=-(\cos x \times 1+\sin x\times 1)\,e^{-x}=-(\cos x \times \sqrt 2 \times {\sqrt 2 \over 2}+\sin x\times \sqrt 2 \times {\sqrt 2 \over 2})\,e^{-x}[/tex]
Mise en facteur :
[tex]h'(x)=-\sqrt 2\,(\cos x \times {\sqrt 2 \over 2}+\sin x \times {\sqrt 2 \over 2})\,e^{-x}[/tex]
La suite ne doit pas te poser de problèmes...

Je regarde si je trouve encore plus évident et moins "cuisine" : dans ce cas, je reposterais.

@+

yoshi

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Re : DM terminale S [Résolu]

Re,

J'ai trouvé autre chose, mais c'est tout autant (à mon sens) cuisine et plus long.
Ecco :
[tex]\cos x + \sin x=\cos\left(x-{\pi \over 4}+{\pi \over 4}\right)+\sin\left(x-{\pi \over 4}+{\pi \over 4}\right)[/tex]
[tex]\cos x + \sin x=\left[\cos\left(x-{\pi \over 4}\right)\cos\left({\pi\over 4}\right)-\sin\left(x-{\pi \over 4}\right)\sin\left({\pi\over 4}\right)\right]+\left[\sin\left(x-{\pi \over 4}\right)\cos\left({\pi\over 4}\right)+\sin\left({\pi\over 4}\right)\cos\left(x-{\pi \over 4}\right)\right][/tex]
Soit encore :
[tex]\cos x + \sin x={\sqrt 2 \over 2}\cos\left(x-{\pi \over 4}\right)-{\sqrt 2 \over 2}\sin\left(x-{\pi \over 4}\right)+ {\sqrt 2 \over 2}\sin\left(x-{\pi \over 4}\right)+{\sqrt 2 \over 2}\cos\left(x-{\pi \over 4}\right)=\sqrt 2 \cos\left(x-{\pi \over 4}\right)[/tex]

Et il suffit de remplacer cos x + sin x dans :
[tex]h'(x)=-(\cos x + sin x)\,e^{-x}[/tex]

Maintenant, à toi de voir : tu as le "choix de l'embarras"...

@+

miss du 42

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Re : DM terminale S [Résolu]

Merci c'est vrai que c'était bête ! mais cepandant il y'a un petit détail que je n'ai pas compris : cos [tex]\frac{\pi}{4} = sin\frac{ \pi}{4}=  \frac{\sqrt 2}{2}[/tex] là je suis évidement d'acord mais d'ou vien le [tex]\sqrt 2 *\frac{ \sqrt 2}{2}[/tex] ? en fait je ne comprend pas pourquoi on multiplie par [tex]\sqrt 2[/tex] ! merci de me répondre et surement a tout à l'heure !

yoshi

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Re : DM terminale S [Résolu]

Bonjour,

La réponse est simple :

1ere méthode :
J'ai écrit :

D'autre part :
[tex]1=\sqrt 2 \times {\sqrt 2 \over 2}[/tex]   et    [tex]\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)[/tex]

c'est de ça que tu parles ?
Je remplace le 1 que tu vois ici :

[tex]-(\cos x \times 1+\sin x\times 1)\,e^{-x}[/tex]

par [tex]\sqrt 2 \times \frac{\sqrt 2}{2}[/tex]
puisque :
[tex]1=\frac{2}{2}=\frac{(\sqrt 2)^2}{2}=\sqrt 2 \times \frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

2e méthode (au cas où) :
Les sin s'éliminent et  :
[tex]\frac{\sqrt 2}{2}\,cos\left(x-{\pi \over 4}\right)+\frac{\sqrt 2}{2}\,cos\left(x-{\pi \over 4}\right)= \sqrt 2\,cos\left(x-{\pi \over 4}\right)[/tex]

Ca te va ?

@+

miss du 42

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Re : DM terminale S [Résolu]

Ah merci bien il me semblait que c'était tout bête ! Ben Bonne continuation et à la prochaine !