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isabelle

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besoin d'aide DM sur la relation de chasles [Résolu]

bonsoir,

merci de m'aider je n'y comprend rien, voilà l'exercice

Soit ABC un triangle quelconque
soit P le point tel que AP + 2 BP +CP =0

1/ en utilisant la relation de chasles montrer que 4AP=2 AB +AC
2/ en utilisant la relation precedente, contruire le point P
3/soit M un point quelconque du plan
  a/ montrer que AM +2 BM+ CM= 4PM
  b/ en remplacant M par A dans la formule precedente retrouver la relation de la question 1
4/ soit I le milieu du segment (AC)
  a/montrer que AP+CP=2IP
  b/en deduire que P est le milieu du segment (IB) et vérifier sur la figure
5/en s'inspirant des questions precedentes contruire le point S tel que AS +3BS+2CS=0 et montrer que si T est le point tel que AT +2CT=0 alors S est le milieu du segment (BT)

yoshi

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Re : besoin d'aide DM sur la relation de chasles [Résolu]

Bonsoir Isabelle,

Et Bienvenue Sur BibM@th...
N'as-tu pas vu le bouton "Insérer une équation" ? Il t'aurait permis d'écrire tes égalité vectorielles sans douleur...

Bon, c'est simple ! Il n'y a qu'à faire ce qu'on te dit.
1. Tu pars de [tex]\vec{AP}+2\vec{BP}+\vec{CP}=\vec{0}[/tex]
Tu remplaces ensuite [tex]2\vec{BP}+\vec{CP}\;\, par\;\,2(\vec{BA}+\vec{AP})+(\vec{CA}+\vec{AP})[/tex] : on applique la relation de Chasles en passant par A. Le reste est affaire de technique...
b) Tu sais déjà que :  [tex]\vec{AP}+2\vec{BP}+\vec{CP}=\vec{0}[/tex]. Remplace dans cette relation
2. On construit [tex]2\vec{AB}[/tex], donc un point (par exemple) B', puis le parallélogramme construit sur les segments [AB'] et [AC]. Le point P est situé au 1/4 de la diagonale en partant de A.
3. a) On repart de  [tex]\vec{AP}+2\vec{BP}+\vec{CP}=\vec{0}[/tex] et on réutilise la relation de Chasles en passant par M cette fois.
b) Puisque ta relation est vraie quel que soit M, elle aussi vraie quand m et A sont confondus. Fais ce qu'on dit : dans la relation précédente remplace M par A. Ta relation modifiée commence maintenant par  [tex]\vec{AA}[/tex] qui est le vecteur nul...
4. a) Encore une fois, il n'y a qu'à faire ce qu'on te dit. Tu pars de [tex]\vec{AP}+\vec{CP}[/tex] et utilises la relation Chasles pour décomposer chaque vecteur en passant par I, cette fois.
b) Tu sais déjà que [tex]\vec{AP}+2\vec{BP}+\vec{CP}=\vec{0}[/tex]. Remplace dans cette relation,[tex]\vec{AP}+\vec{CP}\;\,par\;\,2\vec{IP}[/tex]...
Tu simplifies.Il te reste à décomposer [tex]\vec{BI}[/tex] en passant par P. Tu développes, tu réduis, tu mets 2 en facteur, tu divises par 2 et tu trouves une relation fondamentale liant le milieu d'un segment à ses extrémités.
Pour t'en convaincre, si décomposes [tex]2\vec{BI}\;\,en\;\,\vec{BI}+\vec{BI}[/tex] tu peux recomposer l'un des vecteurs avec [tex]\vec{BI}[/tex]... Cette fois, tu ne peux plus passer à côté...

@+

isabelle

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Re : besoin d'aide DM sur la relation de chasles [Résolu]

Merci Bcp