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anthony_unac

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Démonstration avec PGCD

Bonjour,

Je bute sur cet exercice :
[tex](m+n)[/tex] est un nombre premier, montrer que [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] sont premiers entre eux.

Je pars de l'information [tex](m+n)[/tex] est un nombre premier
Je cherche à aboutir à [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] sont premier entre eux
Autrement dit [tex]PGCD(m,n)=1[/tex] équivalent à [tex]m(u)+n(v)=1[/tex] avec [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] entiers relatifs d'après le th. de Bézout

Je suis parti sur l'idée qu'un nombre premier admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et lui même.
Autrement dit, [tex]1|(m+n)[/tex] et [tex](m+n)|(m+n)[/tex] et je bloque ici. Je ne vois pas ce que je peux faire après cela...

Dernière modification par anthony_unac (24-08-2026 07:22:26)

DeGeer

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Re : Démonstration avec PGCD

Bonjour
Tout d'abord il faut que $m$ et $n$ soient tous deux non nuls pour que la propriété voulue soit vraie. Ainsi $m$ et $n$ sont strictement inférieure à leur somme, que l'on note $p$.
Soit $d$ un diviseur commun à $m$ et $n$. $d$ est donc un diviseur de $m+n=p$ qui est premier.

anthony_unac

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Re : Démonstration avec PGCD

Bonjour DeGeer,
Vous faîtes référence à la propriété :
Si [tex]d[/tex] divise [tex]m[/tex] et [tex]d[/tex] divise [tex]n[/tex] alors [tex]d[/tex]divise une combinaison linéaire de [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex]
Notamment [tex]d|(m+n)[/tex]
Ok mais vous partez d’où pour aboutir ou vis à vis de l'énoncé ? je ne comprends pas.
Selon l'énoncé on souhaite aboutir à [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] n'ont que deux diviseurs communs : [tex]1[/tex] et [tex]-1[/tex]
Mais j'ai l'impression que vous partez de cette propriété pour démontrer la propriété (raisonnement circulaire).

jelobreuil

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Re : Démonstration avec PGCD

Bonjour,
Je ne sais pas si cela peut aider, mais : si $(m + n)$ est un nombre premier, c'est nécessairement un nombre impair (si l'on excepte le cas particulier où cela vaudrait $2$), donc, l'un des nombres $m$ et $n$ est pair et l'autre impair, donc on a $(m + n) = 2p + (2q + 1)$.
Mais à bien y réfléchir, je crois bien qu'un raisonnement par l'absurde donne immédiatement la réponse :
si $m$ et $n$ n'étaient pas premiers entre eux... qu'est-ce que cela voudrait dire ?
Bien amicalement, JLB
PS cela revient bien à ce qu'a écrit DeGeer... et son raisonnement n'est pas circulaire !

Dernière modification par jelobreuil (24-08-2026 08:26:47)

anthony_unac

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Re : Démonstration avec PGCD

Bonjour jelobreuil,

Le raisonnement à effectuer serait donc :
Pour prouver que [tex](m+n)[/tex] premier implique [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] premiers entre eux, montrons que :
[tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] non premiers entre eux implique [tex](m+n)[/tex] non premier.

Désolé d'insister mais pour moi, le raisonnement utilisé est fondamentale (c'est la base, le reste en découle).

jelobreuil

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Re : Démonstration avec PGCD

Rebonjour anthony_unac
Oui, en effet, tu as bien compris ce que j'ai voulu dire.
C'est le principe de ce qu'on appelle, je crois, un raisonnement par l'absurde : si c'était l'inverse de la conclusion attendue qui était vraie, l'hypothèse de départ serait fausse.
Et comme je te l'ai déjà écrit, il me semble que dans le cas présent, ça fonctionne bien !
Relis le message de DeGeer : c'est exactement ça !
Bien amicalement, JLB

DeGeer

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Re : Démonstration avec PGCD

On peut effectivement raisonner par contraposée :
Si $m$ et $n$ ne sont pas premiers entre eux, ils admettent un diviseur commun $d$ strictement plus grand que $1$. On a alors $m=d \times m'$ et $n=d \times n'$ soit $m+n=d \times m' + d \times n' = d (m'+n')$ donc $m+n$ n'est pas premier.
On peut aussi raisonner directement comme dans mon premier message : si $m+n$ est premier, on note $d$ un diviseur commun (positif) à $m$ et $n$. Alors $d$ est un diviseur de $m+n$, qui est premier, mais $d < m+n$ donc nécessairement $d=1$. Donc $m$ et $n$ sont premiers entre eux.

jelobreuil

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Re : Démonstration avec PGCD

Bonjour DeGeer,
Tout à fait d'accord !
Et je viens de comprendre que, quand tu écris "notons $d$ un diviseur commun à $m$ et $n$", en fait, tu ne fais pas d'hypothèse sur le fait que $m$ et $n$ ne soient pas premiers entre eux, mais simplement, tu poses qu'il existe un diviseur commun, et tu regardes quel peut être ce diviseur, et en particulier, s'il peut être différent de 1.
Est-ce que j'interprète correctement ton premier message et l'explication que tu en a donnée ?
Bien amicalement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (24-08-2026 13:32:52)

DeGeer

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Re : Démonstration avec PGCD

Bonjour Jelobreuil
Oui, c'est le sens de mon premier message.

anthony_unac

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Re : Démonstration avec PGCD

Merci pour ces compléments d'infos mais tout n'est pas encore clair.
En effet, il est possible de résoudre l'exercice en raisonnant par contraposition mais il semblerait qu'il n'y ait pas d'équivalence en logique intuitionniste entre [tex]A=>B[/tex] et [tex]non B=>non A[/tex] du coup je pense que la résolution est incomplète. Il faut une réciproque.
Tout ceci me perd au final, c'est compliqué la logique.

jelobreuil

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Re : Démonstration avec PGCD

Bonsoir anthony_unac
Je regrette, mais ta dernière question dépasse mes compétences, je suis aussi perdu que toi en logique !
J'espère que DeGeer saura te répondre...
Bien amicalement, JLB

bridgslam

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Re : Démonstration avec PGCD

Bonsoir,

On peut s'amuser avec la réciproque du théorème de Gauß aussi...

▼par exemple

La propriété est fausse si n ou m est nul.
( Sauf nuls tous les deux... vu que 0 n'est pas premier)

En les supposant non nuls:
Et compliquant notablement  une preuve immédiate bien-sûr, montrons le résultat ainsi:
Pour tout k tel que m divise nk, alors m divise k, réciproque du théorème de Gauß.
En effet si m divise nk, il divise nk+mk=(n+m)k.
Or n+m est premier par hypothèse et m<m+n, donc m divise k.

Un peu tordu mais bon, pourquoi pas...

Sinon si on préfère une relation de Bézout...

▼une relation

On peut raisonner modulo le nombre premier p=m+n>m, car p ne divise pas m, donc il existe u entier et v entier tels que:
mu = pv +1= (m+n)v +1.
Donc m(u-v)  - nv =1, cqfd.
Dit plus rapidement, le premier m+n et m sont nécessirement étrangers, donc n et m aussi ( avec la relation de Bézout à l'appui )

Dernière modification par bridgslam (28-08-2026 10:20:00)