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nimbus.labulle

Invité

[entraide supérieur] 'Intégration' contributions second ordre

Bonjour à tous,

Pour le contexte, je vous expose le problème à partir de mes intuitions mathématiques, mes connaissances du supérieur (formation de physique) ainsi que de la ressource: https://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rentielle qui me parait cohérente.

Si ma fonction f(x) est dérivable alors on donne la différentielle du premier ordre comme étant [tex]df = f'(x) dx  [/tex] . La différentielle d'ordre supérieur si f''(x) existe est donné par [tex]df^2 = f''(x) dx dx   [/tex] et, plus généralement, la différentielle à l'ordre n se présente sous la forme: tex]df^n= f^n(x) (dx)^n  [/tex].

Dans mon problème, en un intervalle [tex] dx [/tex]d(entre [tex] x [/tex] et [tex] x+dx [/tex]), j'évalue les variations  / perturbations de [tex]f[/tex]. Sur ces intervalles, les perturbations du premier ordre sont nulles [tex]df = 0 [/tex]  alors que celles du second ordres ne le sont pas et valent [tex] d^2 f =  f''(x) dx dx [/tex]. Je souhaite sommer ces contributions [tex]\delta f = d^2 f =  f''(x) dx dx [/tex] sur l'intervalle  [tex] x \in [a,b] [/tex]. Je connais [tex] f(x) [/tex]. La fonction est doublement dérivable,  je peux donc évaluer  [tex] f''(x) [/tex].

Comment mener une intégration similaire pour des contributions du second ordre ? Comment sommer des effets du second ordre sur un intervalle continu ?

Dans le cas où la  contribution  serait [tex]\delta f = df = f'(x) dx[/tex] alors j'évaluerais la somme des contributions sur l'intervalle [a,b] par l'intégrale:[tex] /Delta = /int_a^b df = /int_a^b f'(x) dx [/tex].

Merci de votre compréhension et participation,

@ttlb

raph974LAL

Invité

Re : [entraide supérieur] 'Intégration' contributions second ordre

Il faut distinguer deux choses : la différentielle du second ordre et l’intégration usuelle sur un intervalle.

Pour une fonction f de R vers R, on a au premier ordre :

df = derivee_de_f(x) * dx

Cette quantité est d’ordre dx. Elle peut donc être sommée sur un intervalle par une intégrale classique :

integrale de a a b de df = integrale de a a b de derivee_de_f(x) dx = f(b) - f(a)

En revanche, au second ordre, on écrit formellement :

d2f = derivee_seconde_de_f(x) * (dx)^2

Cette quantité est d’ordre (dx)^2. C’est là que l’analogie avec l’intégrale usuelle ne fonctionne plus directement.

Si l’on découpe l’intervalle [a,b] en N sous-intervalles de taille :

Delta_x = (b-a)/N

alors une contribution locale du second ordre serait de la forme :

delta_f_i = derivee_seconde_de_f(x_i) * (Delta_x)^2

La somme de ces contributions vaut :

S_N = somme pour i allant de 1 a N de derivee_seconde_de_f(x_i) * (Delta_x)^2

On peut réécrire :

S_N = Delta_x * somme pour i allant de 1 a N de derivee_seconde_de_f(x_i) * Delta_x

Lorsque N tend vers l’infini, Delta_x tend vers 0, et :

somme pour i allant de 1 a N de derivee_seconde_de_f(x_i) * Delta_x tend vers integrale de a a b de derivee_seconde_de_f(x) dx

Donc :

S_N tend vers Delta_x * integrale de a a b de derivee_seconde_de_f(x) dx

et comme Delta_x tend vers 0, on obtient :

S_N tend vers 0

Ainsi, une somme continue de contributions locales du type :

derivee_seconde_de_f(x) * (dx)^2

tend vers zéro dans le cadre d’un découpage ordinaire de l’intervalle.

En ce sens, l’écriture :

integrale de a a b de derivee_seconde_de_f(x) * (dx)^2

n’est pas une intégrale classique bien définie.

Une intégrale classique somme des contributions d’ordre dx, pas des contributions d’ordre (dx)^2.

Si l’on veut obtenir une quantité finie à partir de la dérivée seconde de f, on peut intégrer :

integrale de a a b de derivee_seconde_de_f(x) dx

mais cette intégrale donne la variation de la dérivée première :

integrale de a a b de derivee_seconde_de_f(x) dx = derivee_de_f(b) - derivee_de_f(a)

Elle ne donne donc pas directement une variation de f, mais une variation de pente.

Pour obtenir la contribution de la courbure à la variation de f, il faut utiliser une formule de Taylor avec reste intégral :

f(b) = f(a) + derivee_de_f(a) * (b-a) + integrale de a a b de (b-t) * derivee_seconde_de_f(t) dt

Donc la contribution liée au second ordre est :

f(b) - f(a) - derivee_de_f(a) * (b-a) = integrale de a a b de (b-t) * derivee_seconde_de_f(t) dt

C’est cette dernière expression qui correspond à une contribution finie de la dérivée seconde sur l’intervalle.

En résumé :

integrale de a a b de derivee_de_f(x) dx

a un sens direct comme somme des contributions du premier ordre, tandis que :

integrale de a a b de derivee_seconde_de_f(x) * (dx)^2

n’est pas une intégrale usuelle.

Une somme de termes du type :

derivee_seconde_de_f(x_i) * (Delta_x)^2

tend vers zéro quand le pas Delta_x tend vers zéro.

Si l’on veut une contribution finie liée au second ordre, il faut plutôt considérer :

integrale de a a b de derivee_seconde_de_f(x) dx = derivee_de_f(b) - derivee_de_f(a)

ou, pour la contribution à f elle-même :

integrale de a a b de (b-t) * derivee_seconde_de_f(t) dt

Enfin, si le premier ordre est nul seulement en un point x0, c’est-à-dire si :

derivee_de_f(x0) = 0

alors la variation locale de f est effectivement dominée par le second ordre :

f(x0+h) - f(x0) = (1/2) * derivee_seconde_de_f(x0) * h^2 + terme_negligeable_devant_h2

Mais cela décrit un comportement local autour d’un point critique, pas une somme continue de contributions derivee_seconde_de_f(x) * (dx)^2 sur tout un intervalle.

raph974LAL

Invité

Re : [entraide supérieur] 'Intégration' contributions second ordre

jai refait en bon latex erreur dans l'autre désolé : Il faut distinguer deux choses : la différentielle du second ordre et l’intégration usuelle sur un intervalle.

Pour une fonction [tex]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], on a au premier ordre :

[tex]df = f'(x),dx[/tex]

Cette quantité est d’ordre [tex]dx[/tex]. Elle peut donc être sommée sur un intervalle par une intégrale classique :

[tex]\int_a^b df = \int_a^b f'(x),dx = f(b)-f(a)[/tex]

En revanche, au second ordre, on écrit formellement :

[tex]d^2 f = f''(x)(dx)^2[/tex]

Cette quantité est d’ordre [tex](dx)^2[/tex]. C’est là que l’analogie avec l’intégrale usuelle ne fonctionne plus directement.

Si l’on découpe l’intervalle [tex][a,b][/tex] en [tex]N[/tex] sous-intervalles de taille :

[tex]\Delta x = \frac{b-a}{N}[/tex]

alors une contribution locale du second ordre serait de la forme :

[tex]\delta f_i = f''(x_i)(\Delta x)^2[/tex]

La somme de ces contributions vaut :

[tex]S_N = \sum_{i=1}^{N} f''(x_i)(\Delta x)^2[/tex]

On peut réécrire :

[tex]S_N = \Delta x \sum_{i=1}^{N} f''(x_i)\Delta x[/tex]

Lorsque [tex]N \to \infty[/tex], on a [tex]\Delta x \to 0[/tex], et :

[tex]\sum_{i=1}^{N} f''(x_i)\Delta x \to \int_a^b f''(x),dx[/tex]

Donc :

[tex]S_N \to \Delta x \int_a^b f''(x),dx[/tex]

et comme [tex]\Delta x \to 0[/tex], on obtient :

[tex]S_N \to 0[/tex]

Ainsi, une somme continue de contributions locales du type :

[tex]f''(x)(dx)^2[/tex]

tend vers zéro dans le cadre d’un découpage ordinaire de l’intervalle.

En ce sens, l’écriture :

[tex]\int_a^b f''(x)(dx)^2[/tex]

n’est pas une intégrale classique bien définie.

Une intégrale classique somme des contributions d’ordre [tex]dx[/tex], pas des contributions d’ordre [tex](dx)^2[/tex].

Si l’on veut obtenir une quantité finie à partir de [tex]f''[/tex], on peut intégrer :

[tex]\int_a^b f''(x),dx[/tex]

mais cette intégrale donne la variation de la dérivée :

[tex]\int_a^b f''(x),dx = f'(b)-f'(a)[/tex]

Elle ne donne donc pas directement une variation de [tex]f[/tex], mais une variation de pente.

Pour obtenir la contribution de la courbure à la variation de [tex]f[/tex], il faut utiliser une formule de Taylor avec reste intégral :

[tex]f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\int_a^b (b-t)f''(t),dt[/tex]

Donc la contribution liée au second ordre est :

[tex]f(b)-f(a)-f'(a)(b-a)=\int_a^b (b-t)f''(t),dt[/tex]

C’est cette dernière expression qui correspond à une contribution finie de la dérivée seconde sur l’intervalle.

En résumé :

[tex]\int_a^b f'(x),dx[/tex]

a un sens direct comme somme des contributions du premier ordre, tandis que :

[tex]\int_a^b f''(x)(dx)^2[/tex]

n’est pas une intégrale usuelle.

Une somme de termes du type :

[tex]f''(x_i)(\Delta x)^2[/tex]

tend vers zéro quand le pas [tex]\Delta x[/tex] tend vers zéro.

Si l’on veut une contribution finie liée au second ordre, il faut plutôt considérer :

[tex]\int_a^b f''(x),dx = f'(b)-f'(a)[/tex]

ou, pour la contribution à [tex]f[/tex] elle-même :

[tex]\int_a^b (b-t)f''(t),dt[/tex]

Enfin, si le premier ordre est nul seulement en un point [tex]x_0[/tex], c’est-à-dire si :

[tex]f'(x_0)=0[/tex]

alors la variation locale de [tex]f[/tex] est effectivement dominée par le second ordre :

[tex]f(x_0+h)-f(x_0)=\frac12 f''(x_0)h^2+o(h^2)[/tex]

Mais cela décrit un comportement local autour d’un point critique, pas une somme continue de contributions [tex]f''(x)(dx)^2[/tex] sur tout un intervalle.