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Vahé

Invité

Une boule fermée incluse dans L1

Bonjour,
Voici l'énoncé du problème :

On se place sur X : L^1([0,1]) muni de la mesure de Lebesgue sur [0,1] et de la norme 1. On considère le sous-espace B : la boule unité fermée de L^2 pour sa norme 2. Montrer que B est un fermé de X

B est bien incluse dans X puisque si l'espace est de mesure finie, on a inclusion décroissante des L^p. Plus précisemment, par Hölder, si l'intégrale de |f|^p est finie sur [a,b] alors celle de |f| se majore par : intégrale de |f|^p sur [a,b] le tout puissance 1/p, fois (b-a)^(1/q).

Le problème est donc de montrer le côté "fermé" de B dans X. Autrement dit, il faut montrer que pour toute suite de fonctions fn, qui vérifient : ||fn||_2 inférieur ou égal à 1 pour tout n, et convergente vers f dans L1, implique f dans L2, et de norme 2 inférieure ou égale à 1. C'est là que je bloque.

Comment montrer, sur un espace de mesure finie, que si une suite de fonctions uniformément bornée par 1 en norme 2, convergente en norme 1, converge en norme 2?...

Glozi

Invité

Re : Une boule fermée incluse dans L1

Bonsoir,
Pour le point de départ, tu as bien montré que $B$ est un sous ensemble de $L^1$.
Par contre pour la suite, il faut juste montrer que si $(f_n)_n$ suite de $B$ converge (dans $L^1$) vers $f$, alors $f$ est dans $B$ (il ne s'agit pas de montrer que $(f_n)_n$ converge vers $f$ dans $L^2$ comme le laisse entendre ta dernière phrase).

Pour montrer que $f$ est dans $B$ tu peux commencer par voir que comme $f_n$ converge vers $f$ dans $L^1$ alors tu as une suite suite qui converge presque-sûrement vers $f$, ensuite tu peux appliquer le lemme de Fatou.
Bonne soirée

raph974

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Re : Une boule fermée incluse dans L1

Soit $(f_n)$ une suite de $B$ telle que $f_n\to f$ dans $L^1([0,1])$.
Alors il existe une sous-suite $(f_{n_k})$ telle que
\[
f_{n_k}(x)\to f(x)
\quad \text{p.p. sur } [0,1].
\]
Donc
\[
|f_{n_k}(x)|^2\to |f(x)|^2
\quad \text{p.p.}
\]
Par le lemme de Fatou,
\[
\int_0^1 |f|^2
\leq
\liminf_{k\to+\infty}\int_0^1 |f_{n_k}|^2.
\]
Or $f_{n_k}\in B$, donc $\|f_{n_k}\|_2\leq 1$, d'où
\[
\int_0^1 |f_{n_k}|^2\leq 1.
\]
Ainsi
\[
\int_0^1 |f|^2\leq 1.
\]
Donc $f\in L^2([0,1])$ et $\|f\|_2\leq 1$, c'est-à-dire $f\in B$.

Par conséquent, $B$ est fermé dans $L^1([0,1])$.