Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Zebulor

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Polygône à $n$ côtés

Bonsoir,
trouvé ceci :
Soit [tex]n[/tex] $\ge 3$ . Discuter l'existence et l'unicité dans la plan d'un polygône à $n$ côtés dont les milieux des côtés sont fixés

cailloux

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,

▼Texte caché

Un exemple avec $n=5$ :

$A_1$ est le point fixe d'une transformation ponctuelle composée de deux translations de vecteurs $2\vec{u}$ et $2\vec{v}$ et d'une symétrie centrale par rapport à $M_5$
Il convient de différencier les cas $n$ pair ou impair.
[Edit] Il est très facile de montrer que cette transformation est la symétrie centrale par rapport à $A_1$ (dans le cas impair)

Dernière modification par cailloux (08-04-2026 13:52:56)

Rescassol

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonsoir,

Pour $n=5$, il suffit de résoudre le système suivant qui se généralise facilement:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ A_4 \\ A_5 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} M_1 \\ M_2 \\ M_3 \\ M_4 \\ M_5 \end{pmatrix}$

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (06-04-2026 20:05:27)

Bernard-maths

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonsoir à tous !

Rescassol vient d'écrire à peu près ce que je pense ...

SiMn(xn,yn) sont les milieux, alors soit A(x,y) un point, A1 son symétrique par rapport à M1, A2 le symétrique de A1 par rapport à M2, etc ...

Et soit An symétrique de An-1 par rapport à Mn.

A chaque étape xAi et yAi, de Ai, peuvent s'exprimer en fonction de x et y de A, on aboutit au système d'équations xAn = x et yAn = y.

A résoudre dans chaque cas, c'est la voie que je devrais suivre si j'ai le temps !

En général on devrait trouver une solution unique, sauf disposition spéciale des Mi, à étudier ...

Bonne recherche, Bernard-maths

Bernard-maths

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour à tous !

2 cas particuliers :

1) 4 points alignés ... rien, ou ?

2) M2 milieu de M1 et M3, M4 = M2 ... infinité ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (07-04-2026 07:20:30)

cailloux

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,
Cas $n$ pair par exemple $n=4$ :
Pour qu'il y ait des solutions (et il y en a dans ce cas une infinité) , il faut que $\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$ autrement dit que le quadrilatère $M_1M_2M_3M_4$ soit un parallélogramme.
C'est une réciproque du théorème de Varignon.
[Edit] Dans le cas pair et avec les bonnes conditions sur les $M_i$, la transformation déjà évoquée est l'identité du plan.
Tout ceci coïncide fort heureusement avec les déterminants (nuls cas pair, non nuls cas impair) des matrices de Rescassol.
[Edit1] Je précise au cas où on ne l'aurait pas compris que mon Edit précédent a été écrit après avoir lu le message de Rescassol ci dessous.

Dernière modification par cailloux (16-04-2026 13:10:39)

Rescassol

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,

Il s'avère que le déterminant de la matrice est nul si et seulement si $n$ est pair, sinon il vaut $2$ (à part pour $n=1$).

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (07-04-2026 09:33:06)

cailloux

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,
Je m'interroge : l'ami Zebulor pose un petit problème dans ce forum "Énigmes, casse têtes, curiosités et autres bizarreries".
On (moi et Rescassol) lui répond.
Aucune réaction, rien, zéro.
Comment est-ce possible ?

Reouven

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,

@cailloux j'essaie de comprendre ta réponse mais je n'ai plus trop l'habitude de ces opérations, d'où mes questions de Boétien : comment on voit que $A_1$ est le point fixe de cette transformation ? et en quoi ça aide ?

Dernière modification par Reouven (02-05-2026 12:39:07)

cailloux

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,
Je vais essayer de préciser les choses avec un petit préalable :

On compose deux symétries centrales $\sigma_1$ et $\sigma_2$ de centres $M_1$ et $M_2$ donnés.
$t=\sigma_2\circ \sigma_1$
$t(m_1)=\sigma_2(m_2)=m_3$
Je pense qu'il est clair (droite des milieux) que $t$ est la translation de vecteur $2\overrightarrow{M_1M_2}=2\overrightarrow{u_1}$
-------------------------------------------------------------
On revient à notre problème où les $M_i$ ($1\leq i\leq n$) sont donnés avec $n$ impair.
On considère la transformation ponctuelle du plan $s$ composée des $n$ symétries centrales de centres $M_1,M_2\cdots M_n$ :

On part d'un point quelconque $m_1$ transformé successivement en $m_2,m_3,m_4\cdots m_{n-2},m_{n-1},m_n,m_{n+1}$
Avec le préalable, $s$ est la composée de $\dfrac{n-1}{2}$ translations de vecteurs $2\overrightarrow{u_1},2\overrightarrow{u_2}\cdots 2\overrightarrow{u_{\frac{n-1}{2}}}$ et de la symétrie centrale finale de centre $M_n$.
On peut écrire :
$\overrightarrow{m_1m_{n+1}}=2(\underbrace{\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+\cdots +\overrightarrow{u_{\frac{n-1}{2}}}}_{\overrightarrow{U}})+2\overrightarrow{M_nm_{n+1}}$
Pour que notre problème ait une solution, il faut et il suffit que $m_1=m_{n+1}=A_1$ point fixe de la transformation $s$.
On en tire immédiatement $\overrightarrow{M_nA_1}=-\overrightarrow{U}$
On peut préciser : $s$ (du groupe homothéties/translations) en tant que composée de translations et d'une homothétie de rapport $-1$, est une isométrie. En général, ce n'est ni l'identité du plan ni une translation : c'est donc l'homothétie de centre $A_1$ et de rapport $-1$ autrement dit la symétrie centrale de centre $A_1$.
Bien sûr, dès qu'on tient $A_1$, on obtient notre unique polygone solution dans le cas impair en lui faisant subir successivement les symétries centrales de centres $M_1,M_2 \cdots M_n$
Dans le cas pair $s$ est une composée de translations donc une translation de vecteur $2\overrightarrow{U}$. Pour qu'il y ait des solutions (il y en a alors une infinité), il faut que ce vecteur  $\overrightarrow{U}$ soit nul. $s$ est alors l'identité du plan.
En espérant avoir été assez clair ...

Dernière modification par cailloux (04-05-2026 12:09:20)

cailloux

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,
Une remarque qui n'aura sans doute échappé à personne :
Sous certaines conditions, il peut arriver que le polygone final ait moins de $n$ côtés.

Bernard-maths

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour à tous !

Histoire de polygoner, voici un hexadécagone étoilé :

D'équation : k1 (abs(y cos(α) - x sin(α) - d) + abs(y cos(3α) - x sin(3α) - d) + abs(y cos(5α) - x sin(5α) - d) + abs(y cos(7α) - x sin(7α) - d)) + k2 (abs(y cos(2α) - x sin(2α) - d) + abs(y cos(4α) - x sin(4α) - d) + abs(y cos(6α) - x sin(6α) - d) + abs(y cos(8α) - x sin(8α) - d)) = 4.2

avec d=0, k1=1.18 et k2=-0.78, α=22.5°.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (05-05-2026 20:05:03)

Zebulor

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,

Bonjour,
Je m'interroge : l'ami Zebulor pose un petit problème dans ce forum "Énigmes, casse têtes, curiosités et autres bizarreries".
On (moi et Rescassol) lui répond.
Aucune réaction, rien, zéro.
Comment est-ce possible ?

C'est possible, car peu souvent chez moi ces derniers temps. Je ne vous ai pas oubliés...

cailloux

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Re : Polygône à $n$ côtés

Merci Zebulor, bonjour,
Je suis rassuré :)