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cailloux

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Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour à tous,
Voici une animation relative à une famille de triangles $ABC$ où :
- le cercle circonscrit de centre $O$
- leur point de Lemoine $K$
sont donnés :

Comment les construire ?
[Edit] Avec une modification du titre et une animation plus fluide.

Dernière modification par cailloux (01-03-2026 17:16:17)

cailloux

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour à tous,
Bien que ce sujet ne semble pas déchaîner les passions, j'y reviens pour ne pas le laisser sans réponse.
Il s'agit de géométrie du triangle la plus élémentaire où les "avatars sur l'axe de Brocard" sont les premier et second points isodynamiques ($X_{15}$ et $X_{16}$ dans l'ETC). Toute inversion de pôle un de ces deux points transforme le triangle $ABC$ en un triangle équilatéral.
On choisit le premier : $X_{15}$ et l'inversion de pôle ce point qui laisse le cercle circonscrit invariant pour obtenir la figure suivante :

On construit d'abord $X_{15}$ puis à partir d'un point $A$ du circonscrit, le point $A'$, le triangle équilatéral $A'B'C'$ et enfin $B$ et $C$.
Une nouvelle question : enveloppe des côtés du triangle $ABC$ ?

Bernard-maths

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour à  tous !

Merci cailloux, c'est plus amusant ainsi ...

O aperçoit des perspectives intéressantes sur l'inversion ...

Alors, si ABC est donné, comment construire X15 (pas l'avion ...) ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (20-04-2026 14:33:52)

cailloux

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour Bernard-maths,
Une construction est plus ou moins suggérée par la figure :
À partir d'un triangle $ABC$, on construit le cercle circonscrit et son centre $O$ puis son point de Lemoine $K$ isogonal du centre de gravité ou si tu préfères le point de concours des symédianes.
On récupère l'axe de Brocard $(OK)$. La bissectrice intérieure en $T$ (voir la construction de ce point) du triangle $RST$ recoupe cet axe en $X_{15}$. La bissectrice extérieure donne $X_{16}$
Il existe bien d'autres constructions. Un lien pour tout savoir sur les points isodynamiques :
Points isodynamiques

Bernard-maths

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonne fin d'après-midi à tous !

Je pense à un truc amusant, est-il connu ?

Dans un triangle ABC les médianes  (AI), (BJ) et (CK) se coupent au centre de gravité G situé au tiers de chacune d'elles à partir de leurs pieds.

Alors trouvez moi une inversion dans tout ça !!! Et que devient ABC ???

Etsi on itère ?...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (20-04-2026 16:20:31)

Bernard-maths

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour à tous !

La question m'est venue comme ça d'un coup ...

Alors une inversion qui échangerait les sommets avec les milieux des côtés ...?

Je vous laisse un peu de temps pour savoir ce que ABC doit être, et pour la suite ...

Bernard-maths

Michel Coste

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour,
Que veux-tu nous faire dire ? Qu'une inversion qui échangerait les sommets avec les milieux des côtés opposés aurait forcément son centre au centre de gravité. Que l'expression de la puissance de l'inversion impose que les trois médianes sont de même longueur, et donc que le triangle est équilatéral. Que l'inversion en question est alors de puissance $-a^2/6$, où $a$ est la longueur du côté du triangle équilatéral.

Bernard-maths

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour Michel !

T'es trop fort, c'est ça !

Après on peut chercher ce que devient ABC complet par inversion, puis par itération ...

B-m

Rescassol

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour,

Une inversion est involutive, alors l'itération .................

Cordialement,
Rescassol

Bernard-maths

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonsoir Rescassol !

Ouais, t'as pris le plus simple (:-)

Et l'image ?

Et pour un pentagone ? Et s'il est croisé ?

Je laisse un peu de temps et je balance mes dessins ...

B-m

Bernard-maths

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour à tous !

Comme promis voici par inversion les courbes du triangle équilatéral et du pentagone régulier et croisé.

Ce sont les courbes en rouge, pour pimenter et rajouter un peu d'art aux maths, j'ai rajouté les courbes en vert.

Elles sont symétriques des rouges par rapport au centre, mais aussi les inverses des polygones avec un rapport d'inversion opposé ... (on peut rajouter : et d'une rotation)

Je pense reprendre plus de détails et d'extensions dans un nouveau titre sur les inversions ...

Ce qui permettra à cailloux de reprendre le contrôle de son post de départ ... {;-)

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-04-2026 14:29:01)

Bernard-maths

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Une petite dernière :

Images d'un carré plein ...

B-m

cailloux

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour,
Une figure brute relative à :

Une nouvelle question : enveloppe des côtés du triangle $ABC$ ?

C'est l'ellipse de Brocard (de point de Brianchon le point de Lemoine $K$) commune à la famille de triangles $ABC$.
Ses foyers sont les points de Brocard et son centre $X_{39}$ dans l'ETC.

Dernière modification par cailloux (27-04-2026 11:26:14)

Bernard-maths

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bavo callox !

Ces animations sont bien faites.

De mon coté je me suis intéessé a post 1, avec les triangles ABC et A'B'C', dont les sommets s'échangent 2 à 2 par inverson.

Plus loin il est dit que ABC se tansforme en A'B'C' par l'inverson de centre X38. Or ce n'est pas vrai !!!

Les sommets oui, mais les cotés non. Les cotés se tansforment en arcs de cercle, et l'ensemble donne le cercle circonscrit !!!!

Si M est un point du triangle ABC, et P son inverse, on voit que P est sur le cecle, et par animaton de M sur ABC, P parcourt le cercle !!!

Il faudra apporter quelques remarques sur les articles du net ...

Bernard-maths

cailloux

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour Bernard-maths,
Ton message est un peu ... "curieux".

Plus loin il est dit que ABC se tansforme en A'B'C' par l'inverson de centre X38. Or ce n'est pas vrai !!!

Je pense qu'il est clair pour tout le monde que ce sont les triplets de points $(A,B,C)$ et $(A',B',C')$ qui s'échangent par inversion.
Que vient faire $X_{38}$ dans cette histoire ?
Tes figures et leur commentaire ici :

Les sommets oui, mais les cotés non. Les cotés se tansforment en arcs de cercle, et l'ensemble donne le cercle circonscrit !!!!
Si M est un point du triangle ABC, et P son inverse, on voit que P est sur le cecle, et par animaton de M sur ABC, P parcourt le cercle !!!

sont faux.
P.S. L'abus de points d'exclamation est mauvais pour la santé

Bernard-maths

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Bonjour cailloux !

L'abus de ! n'est pas bon, mais c'est une manière de mettre les points SOUS les i ...

En fait, poste 2 : "Toute inversion de pôle un de ces deux points transforme le triangle ABC en un triangle équilatéral."

C'est ça qui va pas (!) Le X c'est X38.

Par inversion un côté du triangle, ne passant pas par le centre d'inversion X (ou X38), sera transfomé en un arc de cercle.

Le côté [AB] en l'arc de cercle CA'B, etc ...

C'est quand même un résultat beau à voir (!!!)

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (Hier 08:51:44)

cailloux

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Décidément je ne te suis pas : je maintiens qu'il s'agit de $X_{15}$.
Je maintiens aussi que tes figures ne collent pas. Voici celle que tu aurais du obtenir :

Bernard-maths

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Re : Lemoine et ses avatars sur l'axe de Brocard

Je vais revoir ...

J'ai peut-être pas le bon X ...

B-m