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mermichel

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Rectangle dans cercle

Bonjour à tous,
Je soumets à votre sagacité un problème que je me suis créé (pour le plaisir...).
Dans un repère orthonormé :
- soit un cercle de centre (x0, y0) et de rayon r
- sur ce cercle un point A (xA, yA) fixe.
- un deuxième point B (xB, yB) se déplace sur le cercle.
On construit la corde AB à partir de laquelle on peut donc générer un rectangle ABCD inscrit dans le cercle.
On pourra donc ainsi calculer l’aire du rectangle avec la corde AB, le diamètre du cercle et Pythagore !
But : trouver la formule de l’aire du rectangle en fonction de l’abscisse xB du point B.
Longueur corde = racine ((yB-yA)²_(xB-xA)²)
Dans cette formule, on connaît xA, yA et xB.  yB est à calculer.
J’ai trouvé son équation (de la forme : ax² + bx +c)
où a = 1        b = -2 y0           c = y0² + xA² – 2 xA.x0 + x0² – r²   sauf erreur !

C’est ici que le bât me blesse : réemployer cette expression dans la formule de l’aire du rectangle me paraît un exercice alambiqué et source d’erreurs.
Si quelqu’un a une solution, je lui adresse un grand merci d’avance.
Mermichel

Black Jack

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Re : Rectangle dans cercle

Bonjour,

Je m'arrête à la question "On pourra donc ainsi calculer l’aire du rectangle avec la corde AB, le diamètre du cercle et Pythagore !"  . Toute la suite ne fait que compliquer les choses et n'apporte rien. 

On trouve $S = AB * \sqrt{4r^2-AB^2}$

Cela c'est immédiat.

Dernière modification par Black Jack (15-03-2026 17:33:57)

verdurin

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Re : Rectangle dans cercle

Bonsoir,
on peut remarquer que l’abscisse de B ne suffit pas pour déterminer l'aire du rectangle. Sauf si la droite (OA) est parallèle à un des axes de coordonnées.

Black Jack

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Re : Rectangle dans cercle

Bonsoir,
on peut remarquer que l’abscisse de B ne suffit pas pour déterminer l'aire du rectangle. Sauf si la droite (OA) est parallèle à un des axes de coordonnées.

Bonjour,

Il suffit de bien choisir le repère (qui n'est pas imposé par l'énoncé)).
Rien n'empêche dans l'énoncé de choisir le centre du cercle comme origine du repère orthonormé et de  mettre le point A sur cet axe (on a alors A(0;R)

Comme l'angle AMB est droit, avec M sur le cercle, le point B est diamétralement opposé au point A.

Et on arrive de suite à la relation que j'ai donnée.

verdurin

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Re : Rectangle dans cercle

Salut Black Jack,
le repère est imposé par l'énoncé

Dans un repère orthonormé :
- soit un cercle de centre (x0, y0) et de rayon r
- sur ce cercle un point A (xA, yA) fixe.
- un deuxième point B (xB, yB) se déplace sur le cercle.

Sinon je suis bien entendu d'accord avec ton résultat.

Black Jack

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Re : Rectangle dans cercle

Salut Black Jack,
le repère est imposé par l'énoncé

Dans un repère orthonormé :
- soit un cercle de centre (x0, y0) et de rayon r
- sur ce cercle un point A (xA, yA) fixe.
- un deuxième point B (xB, yB) se déplace sur le cercle.
Sinon je suis bien entendu d'accord avec ton résultat.

Bonjour,

Pas sûr qu'on ne puisse pas imposer xo = 0, yo = 0, xA = R, yA = 0

Sinon, on fait un changement de repère, mais c'est un peu une perte de temps.

verdurin

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Re : Rectangle dans cercle

On peut certainement changer l'énoncé.

MERMET

Invité

Re : Rectangle dans cercle

Bonsoir à tous,
Je reviens sur le problème que j’avais exposé :
Les coordonnées du centre du cercle et du point A sont données et fixes. Seul le point B se déplace.
Je suis arrivé à calculer l’aire du rectangle en effectuant une cascade de calculs :
- calcul de la pente de AB et de sa longueur (en trouvant son point d’intersection avec le cercle) ;,
- pente de la perpendiculaire en B et sa longueur (en trouvant son point d’intersection avec le cercle), ce qui donne le 2e côté du rectangle.
Je voulais trouver la courbe de l’équation donnant l’aire du rectangle en fonction le l’abscisse xB du point B.
ChatGPT m’en a donné plusieurs moutures. J’en ai testé une dans un tableur, elle fonctionne.
Par contre si je la rentre dans Geogebra (avec curseurs) je n’obtiens pas de courbe.
L'équation est un peu longue et j'aimerais vous la communiquer en pièce jointe.
Encore merci de vous être penchés sur ce problème.
Mermichel

verdurin

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Re : Rectangle dans cercle

Bonsoir,
l'aire n'est pas une fonction de l'abscisse de B.
Pour donner un exemple, je prend $x_O=y_O=0$ et $x_A=y_A=1$. On a donc $r=\sqrt2$. Je note $x_B=u$ et $y_B=v$. On a donc $u^2+v^2=2.$

Soit A' le point diamétralement opposé à A. Ses coordonnées sont $(-1\,;-1)$.
L'aire du rectangle est AB×A'B.
$\text{AB}^2=(u-1)^2+(v-1)^2=u^2-2u+1+v^2-2v+1=4-2(u+v)$ car $u^2+v^2=2.$
De même $\text{A'B}^2=4+2(u+v)$.

L'aire cherchée est donc $\sqrt{4-2(u+v)}\cdot\sqrt{4+2(u+v)}$. Ce qui est égal à $2\sqrt{2-2uv}$.

Or $v=\pm\sqrt{2-u^2}$.

Il y a donc deux fonctions à considérer :
— si l'ordonnée est positive l'aire est $2\sqrt{2-2u\sqrt{2-u^2}}$,
— si l'ordonnée est négative l'aire est $2\sqrt{2+2u\sqrt{2-u^2}}$.

Black Jack

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Re : Rectangle dans cercle

[tex]S = AB * \sqrt{4r^2 - AB^2}[/tex]

Avec [tex]r^2 = X_A^2 + Y_A^2[/tex]

Et [tex]AB^2 = (X_A - X_B)^2 + (Y_A - Y_B)^2 [/tex]

Or [tex]X_A^2 + Y_A^2 = X_B^2 + Y_B^2[/tex]

[tex] Y_B = \pm \sqrt{X_A^2 + Y_A^2 - X_B^2}[/tex]

Et donc [tex]AB^2 = (X_A - X_B)^2 + (Y_A  \mp \sqrt{X_A^2 + Y_A^2 - X_B^2})^2 [/tex]   (2 valeurs possibles)

[tex] AB = \sqrt{(X_A - X_B)^2 + (Y_A   \mp \sqrt{X_A^2 + Y_A^2 - X_B^2})^2} [/tex]

[tex] S =  \sqrt{(X_A - X_B)^2 + (Y_A - \pm \sqrt{X_A^2 + Y_A^2 - X_B^2})^2} * \sqrt{4(X_A^2 + Y_A^2) - (X_A - X_B)^2 + (Y_A  \mp \sqrt{X_A^2 + Y_A^2 - X_B^2})^2} [/tex]

Voila, il y a 2 solutions avec le point A connu et l'abscisse de B connue.

Aux erreurs de recopie près.

Dernière modification par Black Jack (27-03-2026 19:54:54)