Forum de mathématiques - Bibm@th.net

L0u

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Nature d'un quadrilatère [Résolu]

Bonsoir,
J'ai un exercice de Maths, et je coince à une question.
Je vous donne l'énoncé :
ISO est un triangle isocèle tel que IS = SO = 7 cm et IO = 6 cm.
Le point M est le milieu du segment [IS].
La parallèle passant par M à la droite (IO) coupe le côté [SO] en N.
Les points A, B, C et D sont les milieux respectifs des segments [MN], [IN], [IO] et [OM].
D'après les questions posées, j'ai démontré que MI = NO.
Puis on me demande "Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse."
Je pense à un parallélogramme; mais je ne vois pas comment justifier :$

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ? Ou me donner "les grandes lignes".
Merci d'avoir lu mon message,
Merci d'avance !

yoshi

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Re : Nature d'un quadrilatère [Résolu]

Bonsoir LOu,

Et bienvenue sur BibM@th...
Usage intensif des théorèmes de la "droite des milieux" (aussi appelée pompeusement en 4e : théorème de Thalès) nécessité !

D'abord je remarque que MI = ON, ça servira pour la suite...
Malgré mon dessin à main levée, je dis que ABCD est un losange dont chacun des côtés mesure 1,75 cm...

Théorème : si un quadrilatère a ses 4 côtés de même longueur, alors c'est un losange.
C'est la voie la plus courte.

1.On travaille avec les triangles MNI et MOI qui ont un côté en commun : |MI]
Dans le premier, A milieu de [MN] et B milieu de [IN]  --> conclusion pour AB ? (1)
Dans le second, C milieu de [IO] et D milieu de [OM] ---> conclusion pour DC ? (2)
Quelle conclusion (3) tires-tu de (1) et (2) ?

2. Tu vas faire de même avec les triangles MNO et INO qui ont le côté [ON] en commun...
Tu vas avoir deux conclusions (4) et (5) à tirer et une 6e provenant de (4) et (5).

Sachant MI = NO = 3,5 cm (7) quelle conclusion tireras-tu des points (3), (6) et (7) ?
Cette dernière conclusion te permettra d'appliquer le théorème cité...

Courage !

@+

L0u

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Re : Nature d'un quadrilatère [Résolu]

Merci d'avoir répondu si vite !

Dans le premier, A milieu de [MN] et B milieu de [IN]  --> (AB) parallèle à (MI) (1)
Dans le second, C milieu de [IO] et D milieu de [OM] ---> (DC) parallèle à (MI) (2)
Donc (AB) parallèle à (DC). (3)

Dans le troisième, A milieu de [MN] et D milieu de [MO] --> (AD) parallèle à (NO) (4)
Dans le quatrième, B milieu de [IN] et C milieu de [IO] --> (BC) parallèle à (NO) (5)
Donc (AD) parallèle à (BC). (6)

Le quadrilatère ABCD a ses cotés opposés parallèles deux à deux.

Je suis en train de voir, ce que tu veux que je trouve pour la conclusion (7).
Je continue et j'envoie de suite.
Encore merci !

L0u

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Re : Nature d'un quadrilatère [Résolu]

Il me manque plus que de prouver que les quatre côtés sont égaux...

*Réflexion*

L0u

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Re : Nature d'un quadrilatère [Résolu]

AB = MI/2
AD = NO/2
BC = NO/2
CD = MI/2

Or MI = NO car ISO triangle isocèle en O !!! =D

L0u

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Re : Nature d'un quadrilatère [Résolu]

Je pense avoir trouvé ! Enfin grâce à toi !!
En tout cas, merci beaucoup ! Ma petite soeur te remercie ^^'

yoshi

Modo Ferox

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Re : Nature d'un quadrilatère [Résolu]

Re,

Oui, le parallélisme était une conclusion superflue...
Avec :
AB = MI/2
AD = NO/2
BC = NO/2
CD = MI/2
MI = NO
tu arrives à 
AB = BC = CD = DA = MI/2 = NO/2
Les 4 côtés ont la même longueur, c'est suffisant !

@+

L0u

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Re : Nature d'un quadrilatère [Résolu]

Merci encore !

yoshi

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Re : Nature d'un quadrilatère [Résolu]

De rien !

PS
Sachant que ABCD est un parallélogramme, prouver que les 4 côtés ont la même longueur est inutile : il suffit de 2 côtés consécutifs de même longueur...
Economie, économie ! ;-)

L0u

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Re : Nature d'un quadrilatère [Résolu]

Economie Economie ... certes mais déjà trop tard =p Déjà rédigé ! En tout cas, merci beaucoup yoshi, tu a été très rapide à répondre, et à me donner les grandes lignes ! :cool: