Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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homothéties dans le triangle.

Salut à tous ;

Pour résumer , j'ai effectué 6 homothéties :

2 homothéties de rapport [tex]\cfrac{1}{k}[/tex]de centre A des 2 sommets B & C  , et la même chose avec les deux autres sommets .

J'ai appelé [tex]\cfrac{h}{s}[/tex] le rapport entre l'aire de l'hexagone et celle du triangle ABC . Ce rapport est aussi égal à [tex]\cfrac{1}{k}[/tex]

1)  Ici k est un réel . Que vaut k ?

2) On refais la construction avec de nouvelles homothéties de rapport 1/k  .

[tex] \cfrac{h}{s}[/tex] est aussi le rapport du périmètre de l'hexagone sur la longueur totale des 6 céviennes AA' , AA" , BB' , BB" ,

CC' & CC" .  Que vaut k ?

3) trouver 2 entiers k pour que [tex] \cfrac{h}{s}[/tex] soit une fraction unitaire . On abandonne k = 2 puisque dans ce cas l'hexagone est réduit à un point .

nb  Le dessin que j'ai réalisé avec géolabo est à l'échelle concernant la première question .

Peut-être que ceux qui disposent d'un logiciel avec lequel on peut mesurer les aires et les périmètres pourront vérifier les résultats.

Amusez vous bien .

Rescassol

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Re : homothéties dans le triangle.

Bonsoir,

1) $k=\dfrac{-2+\sqrt{6}}{2}\simeq 0.2247$ ?
L'énoncé n'est pas très clair. L'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{1}{k}$ transforme $B$ en $C'$ ou en $C''$ ? J'ai choisi $C'$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (01-11-2025 18:29:58)

jpp

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Re : homothéties dans le triangle.

Salut ,

Tu peux expliquer ton raisonnement parce que je ne trouve pas ça.

B en C' de centre A sur mon dessin ça s'approche de 1/4 , ça donnerait k proche de 4 . Non ?

Rescassol

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Re : homothéties dans le triangle.

Bonsoir,

Voilà mes calculs en barycentrique:

% JPP - 01 Novembre 2025 - homothéties dans le triangle (sur Bibm@th)

clear all,clc

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC

syms k real

Cp=HomothetieBary(A,B,1/k); Bs=HomothetieBary(A,C,1/k);
Ap=HomothetieBary(B,C,1/k); Cs=HomothetieBary(B,A,1/k);
Bp=HomothetieBary(C,A,1/k); As=HomothetieBary(C,B,1/k);

AAp=Wedge(A,Ap); BBp=Wedge(B,Bp); CCp=Wedge(C,Cp);
AAs=Wedge(A,As); BBs=Wedge(B,Bs); CCs=Wedge(C,Cs);

E=Wedge(AAp,BBs); F=Wedge(BBp,CCs); G=Wedge(CCp,AAs);
K=Wedge(AAp,CCs); L=Wedge(BBp,AAs); M=Wedge(CCp,BBs);

EFGKLM=AireBary(E,K,F)+AireBary(E,F,L)+AireBary(E,L,G)+AireBary(E,G,M);
EFGKLM=Factor(EFGKLM);
Nul=Factor(EFGKLM-1/k);
% On obtient l'équation - 2*k^2 + 8*k + 1 = 0
% Les deux solutions sont:
k1=(4+3*sqrt(2))/2 %  4.121320343559643
k2=(4-3*sqrt(2))/2 % -0.121320343559643
 

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (01-11-2025 22:13:53)

jpp

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Re : homothéties dans le triangle.

Salut ;

@Rescassol : cette fois ci c'est bon ; bravo ! 1 est aussi racine car , dans ce cas il n'y a plus que le triangle ABC .

J'avais à résoudre une équation de degré 3 avec 1 parmi les 3 racines [tex]\cfrac{4-3\sqrt2}{2}[/tex] ; [tex]\cfrac{4+3\sqrt2}{2}[/tex] ; [tex]1[/tex]

l'équation étant : [tex]2k^3 - 10k^2 + 7k + 1 = 0[/tex]

Bon calcul pour la suite .

nb . J'ai une approche complètement différente du problème .

Rescassol

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Re : homothéties dans le triangle.

Bonjour,

2) $k=4.181943336052392...$ ?

Cordialement,
Rescassol

jpp

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Re : homothéties dans le triangle.

Re ,

@Rescassol : Non pour k

Rescassol

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Re : homothéties dans le triangle.

Bonjour,

Pourtant, pour cette valeur de $k$, solution de l'équation $k^3 - 4k^2 - k + 1=0$, on a bien $\dfrac{Périmètre\ Hexagone}{Somme\ des\ céviennes}=\dfrac{EK+KF+FL+LG+GM+ME}{AA'+AA''+BB'+BB''+CC'+CC''}=\dfrac{1}{k}$, et Géogébra est d'accord.
Mais ce n'est peut-être pas ce que tu voulais.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (02-11-2025 19:30:13)

jpp

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Re : homothéties dans le triangle.

Salut ;

J'ai l'égalité avec k = 0 et k = 4 ;  voici un triangle et les deux courbes f(k) & g(k) avec :

[tex]g(k) =\cfrac{k}{2.(k-2)} . f(k) = \cfrac{8}{35}  [/tex] avec k = 4 

Sur mon dessin j'ai mesuré les 6 côtés et les 6 céviennes ainsi que la base et la hauteur d'un des 3 triangles obtusangles rouges (les 3 ayant même aire)
et enfin la base et hauteur du petit triangle acutangle rouge central .

Les deux rapports valent 8/35  . On peut vérifier que ce rapport est l'un des six : par exemple ML /BG = 16.28305/71.23834

petite correction concernant le triangle ABD ; à gauche c'est la hauteur issue de D qui mesure 60 ;
DH est une cévienne qui mesure :60.06005

Dernière modification par jpp (03-11-2025 14:16:56)

Rescassol

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Re : homothéties dans le triangle.

Bonjour,

Cordialement,
Rescassol

jpp

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Re : homothéties dans le triangle.

Re ,

il y a malentendu ; dans la seconde question il est demandé k dans le cas où

h/s rapport des aires) = (somme des 6cotés hexag)/somme des céviennes = KF / CC"

en prenant ton dessin . Il faut donc aussi mesurer les aires , non ?

Rescassol

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Re : homothéties dans le triangle.

Bonsoir,

$\dfrac{h}{S}=\dfrac{2(k - 2)^2}{(2k - 1)(k + 1)}$
$\dfrac{Hexagone}{Céviennes}=\dfrac{k(k - 2)}{(2k - 1)(k + 1)}$
Donc $\dfrac{h}{S}-\dfrac{Hexagone}{Céviennes}=\dfrac{(k - 2)(k - 4)}{(2k - 1)(k + 1)}$
Ce qui donne bien $k=4$ et $\dfrac{h}{S}=\dfrac{Hexagone}{Céviennes}=\dfrac{8}{35}$.
Il faut dire que ton énoncé n'est pas très clair.

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

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Re : homothéties dans le triangle.

Bonsoir,

3) Si $k=3$ alors $\dfrac{h}{S}=\dfrac{1}{10}$
Si $k=5$ alors $\dfrac{h}{S}=\dfrac{1}{3}$

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (03-11-2025 19:36:12)

jpp

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Re : homothéties dans le triangle.

Re ,

Bien vu.

On a donc la formule générale pour ce type de construction .
Merci d'avoir participé, parce que ça n'a pas intéressé grand monde . Mon énoncé était quand même clair , puisqu'on repartait avec un nouveau 1/k .

Dernière modification par jpp (03-11-2025 19:50:16)