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#1 05-10-2025 17:51:04
- RAMU
- Membre
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- Messages : 4
Densité de l'image d'une application linéaire continue
Bonjour,
Merci de m'aider à comprendre le point de la fin de la démonstration ou il est affirmé que S est d'image dense.
En vous remerciant.
Soient (E, || ||) et (F, || ||’) deux espaces de Banach et T une application linéaire continue de E dans F.
Appelons T’ la transposée de T, F’ le dual de F et E’ le dual de E.
Il s’agit de montrer que T’ (F’) fermé dans E’ implique T(E) fermé dans F.
Démonstration
B= clôture (T(E)) est de Banach.
Soit S l’application linéaire continue de E dans B définie par :
S(x) = T(x). Alors on a Im(S’) =Im (T’) en appelant S’ la transposée de S.
Donc Im(S’) est fermé dans E’ par hypothèse.
Comme S est d'image dense, il résulte du cours que S est surjective. Autrement dit S(E) =B Or T(E) = S(E) donc T(E) = B
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#2 05-10-2025 19:53:32
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 311
Re : Densité de l'image d'une application linéaire continue
Bonjour,
$S$ est à image dense par construction de $B$ : c'est en effet l'adhérence de $\textrm{Im}(T)=\textrm{Im}(S)$ dans $F.$
Et une partie est toujours dense dans son adhérence.
F.
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