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bridgslam

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Un peu d'imagination arithmétique

Bonjour

Que peut-on dire du triple de la somme de 4 carrés parfaits?

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Michel Coste

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Re : Un peu d'imagination arithmétique

Bonjour,
Vu que tout entier naturel est somme de quatre carrés (Lagrange), les triples des sommes de 4 carrés sont tout simplement les entiers naturels multiple de 3.
Pourquoi cette question ?

bridgslam

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Re : Un peu d'imagination arithmétique

Bonjour ,

le but est, sans connaissance particulière comme la propriété que tu mentionnes , de voir que c'est aussi une somme de quatre carrés.

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Michel Coste

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Re : Un peu d'imagination arithmétique

Allez, je le fais pour 7 au lieu de 3 :

$$\begin{aligned}&(2^2+1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2+d^2)={}\\& \qquad(2a-b-c-d)^2+(2b+a+d-c)^2 +(2c+a+b-d)^2+(2d+a+c-b)^2\end{aligned}$$

Dernière modification par Michel Coste (04-10-2025 16:50:33)

bridgslam

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Re : Un peu d'imagination arithmétique

Bonsoir,

C'est l'idée, pour la question originale, on a juste à remarquer qu'un produit de sommes de quatre carrés est encore une somme de quatre carrés ( on peut utiliser les complexes ou les quaternions ).
Et 3 est une somme de quatre carrés.
Cela suffit pour la question posée.
Elle n'a plus d'intérêt bien-sûr si on connaît la propriété de Lagrange.

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Roro

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Re : Un peu d'imagination arithmétique

Bonsoir,

on a juste à remarquer qu'un produit de sommes de quatre carrés est encore une somme de quatre carrés.

Il me semble que c'est justement de cette façon qu'on prouve que tout entier est somme de 4 carrés...

Roro.

bridgslam

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Re : Un peu d'imagination arithmétique

Bonsoir,

Sans doute ( et  à vérifier) mais ce n'était pas la question posée par son auteur ( Lewis Caroll) dans un article de logique (repris dans un  magazine Tangente).

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