Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Michel Coste · 17-09-2025 09:37:44

Je pense que ce que tu ne comprends pas, c'est que la vitesse de rotation constante autour du centre du cercle est bien sûr dans un repère translaté au centre du cercle. Et ce centre du cercle bouge ! Le centre instantané de rotation par rapport au repère fixe est lui toujours au point de contact, que ce contact soit sur un côté ou sur un coin du carré.
Mais il semble d'après ton dernier paragraphe que tu commences à voir

bridgslam · 17-09-2025 09:41:06

oui c'est ce que je voulais dire exactement, le référentiel fixé en I a un mouvement de translation circulaire par rapport à celui lié à la table.

Mea culpa, mais l'important est de participer ( et de se planter parfois en beauté !)

Alain

Michel Coste · 17-09-2025 09:48:24

J'ajoute que la vitesse de rotation (disons en tr/mn) du cercle est la même, que ce soit dans le repère solidaire du carré ou dans celui translaté au centre du cercle.

bridgslam · 17-09-2025 10:14:50

Tout à fait, ces deux référentiels ( ou plutôt repères, on n'est pas sur des questions avec des masses, de matériel, mais juste cinématique):
les directions de ces deux repères donc ne tournent pas l'un par rapport à l'autre: seule l'origine de l'un se déplace.
Bernard doit donc spécifier pour achever la question côté mouvement, par exemple:

- ce que fait I par rapport à l'angle de contact ( rotation sans à-coups?)
- si le cercle continue de tourner identiquement que sur un côté par rapport à son centre I une fois arrivé à l'angle.

Tout est possible sans autre info, et la question était donc effectivement incomplète.

Je regarderai derechef la situation DANS le carré... mais je dois faire du jardin: haies etc cet a-midi.

PS: si le cercle est inscrit dans le carré, c'est facile :-)

Dernière modification par bridgslam (17-09-2025 10:41:54)

Michel Coste · 17-09-2025 13:38:21

J'avais promis un dessin correspondant à une vitesse de rotation constante du cercle, le voici :

En rouge, les vitesses instantanées dans le repère fixé au carré. En vert, celles dans le repère d'origine translatée au centre du cercle.

Bernard-maths · 17-09-2025 15:41:22

Bonjour à tous !

Effectivement, lorsque E parcourt le carré, le centre I est à 1 unité des côtés tant que E n'est pas un "coin", car alors I décrit un quart de cercle de rayon 1 et de centre le "coin". En tout 4 segments parallèles aux 4 côtés, à 1 unité de ceux-ci en extérieur, complétés par 4 quarts de cercles.
Même chose pour le point F mais à 2 unités vers l'extérieur, complétés par 4 quarts de cercles de rayon 2.

Pour les lieux en intérieur du carré, j'ai oublié le lieu du point E, en plus de ceux de I et F ... et puis à la vitesse v ...

Parlons un peu de vitesse ... sur un véhicule la vitesse est calculée grâce à des capteurs dans la boite ou les roues...

Ceci m'incite à commencer par le point central I, qui va tourner autour du carré à la vitesse constante v.

Lorsque E n'est pas un "coin" alors E et F vont aussi se déplacer à la vitesse v. Mais lorsque E est un "coin" alors E s'arrête, vitesse tombée à zéro ! Alors que F voit sa vitesse doublée à 2v !

Les diagrammes de vitesses sont donc constants à v pour I et discontinus pour E (à 0) et F (à 2v) aux moments des "coins".
Si v = 1 unité par seconde, le tour complet prend 24 + 2 Pi = 30,28 s.

Maintenant, si c'est F qui tourne à la vitesse v, E et I ont la vitesse v le long des 4 côtés, mais dans les "coins", I tombe à v/2 et E à zéro !
Un tour en 24+4*2*2 PI/4 = 36.57 s.

Enfin si c'est E qui va à la vitesse v, I et F de même le long des côtés? MAIS dans les "coins" que se passe-t-il ???

Bonne suite, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (17-09-2025 16:45:40)

Michel Coste · 18-09-2025 13:28:12

Cette analyse des vitesses n'est pas cohérente avec le fait que le cercle roule sur le carré.
Le cercle est un solide qui bouge par rapport au repère fixe solidaire du carré. La cinématique est exprimée par le champ des vitesses dans le corps en mouvement.
J'ai représenté quelques vecteurs vitesses de ce champ de vitesses dans le dessin ci-dessus, en rouge. la vitesse instantanée au point de contact est TOUJOURS NULLE. Celle au centre du cercle de module constant (disons $v$) pour le centre du cercle, et celle au point diamétralement opposé au point de contact toujours de module $2v$.
Il faut remarquer que le point de contact et son point diamétralement opposé ne sont pas fixes par rapport au cercle qui bouge. C'est pour cela que l'analyse des vitesses de Bernard-maths ne fait pas sens. Pour le centre du cercle, il est bien fixe par rapport au cercle, donc pas de problème.
L'analyse des vitesses de Bernard-maths pourrait faire sens si le point de contact était fixe par rapport au cercle, c.-à-d. dans le cas où le cercle glisse (au lieu de rouler) sur le carré. Sauf que ce que veut dire ce glissement en un coin du carré n'est pas très clair.
La façon dont j'ai formulé les choses (vitesse de rotation du cercle constante) lève toute ambiguïté, et bien sûr ce n'est pas un glissement.

Dernière modification par Michel Coste (18-09-2025 13:32:45)

Bernard-maths · 18-09-2025 14:35:52

Bonjour Michel ! Et tous les autres !

Bien sur que l'énoncé provoque une ambiguïté cinématique, ... mais c'est ce qui est "amusant".

Par contre il me semble qu'on peut quand même parler des vitesses de ces points !

Si le cercle glisse, il reste dans sa position sur les côtés du carré, mais dans les virages l'inertie fait que I pousse le cercle à tourner d'un quart de tour, et ça continue ... Après un tour du carré, le cercle aura tourné d'un tour aussi ...

Je m'amuse à chercher et je suis en train d'écrire des calculs peu communs, pour bientôt ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (18-09-2025 14:41:36)

bridgslam · 18-09-2025 14:57:08

Bonjour,

Bernard, je crois qu'il ne faut pas confondre deux points pour F.
Celui qui a un mouvement translaté toujours de la même façon par rapport à I, situé au-dessus de I sur la verticale.
Sa vitesse est donc toujours la même , c'est celle de I pour toutes les phases du mouvement.
Il n'est pas lié au cercle. C'est un point "que géométrique" ( je sais que ce que je dis est idiot mais bon...)
Celui qui est lié au cercle et aligné avec IE, il a toujours la vitesse 2v (même en roulant à plat).
Si le cercle était un vrai solide matériel ( cerceau ?), c'est le point qui aurait une masse ponctuelle.

Si on conserve l'uniformité et constance des vitesses au passage du coin comme c'était à plat pour chaque point, rien n'évolue. Pas de discontinuité si on ne mélange pas les points dont on parle.
De toute façon avec un objet qui avance globalement à vitesse uniforme sur un circuit (si j'ai bien compris la question) , obtenir des discontinuités doit interpeler.

Note qu'on ne peut parler d'inertie dans une question uniquement cinématique, il n'y a pas de masses dans cette affaire.

Dernière modification par bridgslam (18-09-2025 14:59:29)

Michel Coste · 18-09-2025 15:01:22

Bernard-maths a écrit :

Par contre il me semble qu'on peut quand même parler des vitesses de ces points !

Pour moi, parler de la vitesse d'un point qui n'est pas fixe sur l'objet qui bouge n'a pas de sens cinématique.
Je ne trouve pas vraiment amusant d'entretenir de la confusion, désolé !

Bernard-maths · 18-09-2025 16:36:29

Re,

Ce qui t'embête c'est la roue !??? Supprimons la roue, et considérons I qui se trouve à 1 unité du carré, sur le carré arrondi aux angles.

Si on considère tous les segments [IM], avec M sur le carré, il en existe un qui est le plus petit, de longueur 1. Soit E ce point M particulier. Et soit F le symétrique de E par rapport à I.

Alors peut-on parler des vitesses de I, E et F ???

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (18-09-2025 17:03:02)

Bernard-maths · 18-09-2025 16:45:24

Bonjour à tous !

Je vous propose quelques figures :

On y voit à droite le carré bleu ABCD, le carré aux coins arrondis, rouge, trajectoire de I, et le carré vert aux coins arrondis, trajectoire de F.

A gauche vous avez 3 fenêtres présentant des équations pour le carré ABCD, et les carrés aux coins arrondis pour I et F.

Dans la fenêtre allongée du haut, vous avez les diagrammes des vitesses de E, I et F.

L'instant T0 correspond à la position de I(a+1,0), puis on tourne dans le sens trigo, T1 pour E qui arrive en A, T2 pour E qui quitte A et va vers B ... etc ...
Le point I ayant une vitesse constante son diagramme de vitesse est la droite d'équation y = 1.
Lorsque I est sur les côtés de ABCD, à la vitesse v = 1 unité/s, E et F font de même. Leurs diagrammes sont sur la droite y = 1.
Mais, comme entre les instants T1 et T2, le point E s'immobilise et F double de vitesse. D'où les petits segments horizontaux pour E y = 0 et pour F y = 2. De même entre T3 et T4, entre T5 et T6, et entre T7 et T8. En T'0 I a fait un tour et se retrouve en (a+1,0).

Dans la suite je vous développerai les équations des carrés arrondis et des diagrammes. Voir post #64

Mais vous pouvez chercher et poser des questions !

(:-) Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-09-2025 10:33:06)

bridgslam · 18-09-2025 17:32:13

Bonjour,

Si on imagine un détenu (assimilé à un point ) relié à une chaine toujours tendue ( EF) * qui fait le tour d'un carré dans la prison, on a la situation schématisée jusque là (désolé, pas trouvé d'analogie plus gaie).
Le cercle assujetti au plan a un degré de liberté en plus par pivotement en regard d'un point : dans le plan du carré sa position est par exemple repérée par son centre certes, mais un angle en plus par rapport à un axe du carré.
Tant qu'il roule à plat l'angle d'orientation est déterminé à tous moment.
Sur un angle il peut faire en terme angulaire d'orientation absolument ce qu'il veut, tant qu'il ne roule pas sur le côté suivant.
La position de ses points n'étant pas imposée dans cette phase, difficile de discuter de vitesse, accélération, ...à part celle de I.

Je préfère aussi des sujets moins ambigus, ce n'est déjà pas toujours ultra facile quand le sujet est clair, alors...

* on ne sait jamais elle pourrait se casser...

Bonne fin de soirée

Michel Coste · 18-09-2025 20:37:52

@Bernard-maths : Je n'ai absolument aucun problème avec la roue qui roule avec une vitesse de rotation constante, j'ai donné les vitesses instantanées aux points de contact et aux points diamétralement opposés plus haut.
Une petite question : supposons que ton sujet ait été retenu et qu'un élève ait répondu comme je l'ai fait, en total désaccord avec la réponse que tu fais. Quelle note aurait-il fallu lui mettre, selon toi ?
Ce qui me gêne, c'est l'incohérence qui fait que tu commences avec une roue qui roule et que tu finis avec une roue qui se contente de glisser.

Bernard-maths · 19-09-2025 09:43:11

@Michel !

Ce n'est pas moi qui ai le premier voulu faire glisser la roue ... Mais peu importe !

Michel Coste · 19-09-2025 10:06:08

Bernard-maths a écrit :

Ce n'est pas moi qui ai le premier voulu faire glisser la roue

Le problème, c'est que tu as commencé avec une roue qui roule et donné des réponses sur les vitesses incompatibles avec cette situation, mais correspondant à une roue qui glisse !
Pourrais-tu répondre à ma question :
Supposons que ton sujet ait été retenu et qu'un élève ait répondu comme je l'ai fait, en total désaccord avec la réponse que tu fais. Quelle note aurait-il fallu lui mettre, selon toi ?

Bernard-maths · 19-09-2025 10:57:56

Re,

Michel, il y a mésentente sur l'interprétation de l'énoncé !

Je parle d'un cercle qui roule sur le carré, ce cercle a un point de contact avec le carré.

Ce point de contact E n'est pas attaché au cercle ou au carré, il change de place sur le cercle et sur le carré lorsque le cercle roule, F aussi ...

et je ne vois pas l'utilité d'un repère lié au cercle ...

Si on prend un point fixé sur le cercle, on peut calculer une vitesse tangentielle, mais pas linéaire au(x) côté(s) du carré ...

Pour moi c'est hors sujet (:-)

Cordialement, B-m

Michel Coste · 19-09-2025 11:57:42

Bon, je renonce.
Il me semble impossible de te faire sortir de ton entêtement dans l'incompréhension de la cinématique du solide.

Bernard-maths · 19-09-2025 13:04:19

Désolé !

Je ne comprends pas du tout, en effet, ce que tu veux dire.

Peut-être que si tu refais l'énoncé à ta manière ...

Mais pour moi ce sont des points immatériels qui se déplacent, comme dans les problèmes géométriques de recherche de lieu ...

B-m

Michel Coste · 19-09-2025 13:32:26

J'ai déjà donné l'énoncé à ma manière :
Un disque de rayon 20cm roule sans glisser sur un carré avec une vitesse de rotation constante de 33tr/min. Quelle est la vitesse instantanée du centre du disque ? Du point de contact du disque et du carré ? Du point diamétralement opposé au point de contact ?
Réponse :
1,047 m/s, 0 m/s, 2,094 m/s.

Si tu as une puce immobile sur le bord du disque, elle est flashée en excès de vitesse à 2,094 m/s quand elle se trouve diamétralement opposée au point de contact et a une vitesse de 0 m/s quand elle se trouve écrasée entre le disque et le carré.

Dernière modification par yoshi (19-09-2025 16:45:04)

Bernard-maths · 19-09-2025 14:46:24

Bon, je comprends mieux : ce n'est pas le même problème !

Pour moi : périmètre * tout/s = (0.2 * 2 * Pi) * (33/60) = 0,691 m/s

Je dius partir !!!

Michel Coste · 19-09-2025 16:08:43

Oui, je me suis emmêlé les pinceaux dans mon calcul numérique. Les réponses sont effectivement 0,691 m/s, 0 m/s et 1,382 m/s.
Puisqu'on parle de vitesse, c'est un problème de cinématique, je l'ai posé et résolu (aux erreurs de calculs près ;)) de manière cinématiquement correcte.

bridgslam · 19-09-2025 18:56:57

Bernard-maths a écrit :

Mais pour moi ce sont des points immatériels qui se déplacent, comme dans les problèmes géométriques de recherche de lieu ...
B-m

Mais dans un autre post tu évoquais de l'inertie pour le cercle quand il aborde un coin...
Cinématique ou cinétique, il faut choisir, mais tu ne peux changer de choix au fil des posts, à moins d'incohérence.

Bonne soirée

Bernard-maths · 20-09-2025 05:44:06

Oui, ce terme est mal choisi, je me souviens qu'en l'écrivant vite ce n'était pas bien ...

Je voulais évoquer que le cercle devait continuer d'avancer sur le carré, et qu'alors il devait tourner autour du "coin".

Comment le dire alors ???

B-m

jelobreuil · 20-09-2025 08:30:44

Bonjour à tous,
Il faut peut-être s'imaginer que les coins sont enduits d'une espèce de glu qui fait que, quand le cercle atteint un coin, il est freiné dans son élan et se retrouve obligé de "coller" au profil du carré dans sa course ultérieure...
Je sais, c'est un peu ésotérique...
Bien cordialement, JLB

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 17-09-2025 09:37:44

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