Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Weg

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Expression de la variance d’un échantillon.

Bonjour,

Je viens de commencer un bouquin sur les stats géospatiale. Dès le départ je suis largué. Voilà ce qu’écrit l’auteur à propos de la variance d’un échantillon X :

$(n-1)s^2(x)$

$=\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$

$=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}(n(X_i-μ) - (\bar{X} - μ))^2$

$=\frac{1}{n^2}\left(
    (n-1)^2\sum_{i=1}^{n}(X_i - μ)^2 -
    2(n-1)\sum_{i=1}^{n}(X_i - μ)\sum_{j=1, j≠i}^{n}(X_j -μ) + \sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1, j≠i}^{n}(X_j - μ))^2
\right)$

La première égalité, c’est la formule de la variance habituelle, jusque-là ok.

La deuxième : on ajoute μ et on soustrait μ, ça ok. On multiplie et on divise par $n^2$, ok, mais… il manque pas un $n$ avant le $(\bar{X} - μ)$ ??? ou des parenthèses, je sais pas. Mais telle quelle, l’égalité me semble fausse. Non ?

Quand à la troisième égalité, je ne comprends absolument pas ce qu’il fait. Je me doute que c’est basé sur le développement de $\bar{X}$ en $\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j$, mais comment passe-t-il de $n$ à $n-1$ dans le premier et le deuxième terme ? Pourquoi exclu-t-il $j = i$ dans le deuxième et le troisième terme ? En vertu de quoi transforme-t-il la somme de somme en produit de somme dans le deuxième terme ? Quand au troisième terme, je trouve la même chose sous réserve d’accepter qu’il ne manque pas de $n$ à la deuxième égalité.

Bref, ça sort d’où tout ça ?

Fred

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Re : Expression de la variance d’un échantillon.

Bonjour,

  Je crois que la deuxième égalité, c'est n'importe quoi. Voici comment il faut procéder je crois :
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2&=\sum_{i=1}^n \left(X_i-\mu-(\bar X-\mu)\right)^2\\
&=\sum_{i=1}^n \left(X_i-\mu-\frac1n\sum_{j=1}^n (X_j-\mu)\right)^2\\
&=\frac 1{n^2}\sum_{i=1}^n \left(n(X_i-\mu)-\sum_{j=1}^n (X_j-\mu)\right)^2\\
&=\frac 1{n^2}\sum_{i=1}^n \left((n-1)(X_i-\mu)-\sum_{j\neq i}(X_j-\mu)\right)^2
\end{align*}
puis il suffit de développer le carré.

F.

Weg

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Re : Expression de la variance d’un échantillon.

Ok, donc la deuxième égalité est bien fausse. C’est ce qui me semblait.

Et l’astuce qui me manquait, c’est de soustraire $(X_i - μ)$ au deux termes de la soustraction. Ce qui permets d’obtenir des variables indépendantes dans la suite du calcul.

Effectivement, comme ça, ça marche. Merci

J’ai l’impression que la lecture du bouquin va pas être facile…