Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

Borassus · 13-09-2025 11:15:58

Pour revenir à « "cela se voit sur un dessin" d'Eust-4che, je reprends la définition du Barbazo que j'ai citée plus haut :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère.
* $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous les réels $a$ et $b$ de $I$, la portion de la courbe $C$ située entre les points $A(a\,;\,f(a))$ et $(b\,;\,f(b))$ est en dessous de la sécante $(AB)$.
* $f$ est concave sur $I$ si, pour tous les réels $a$ et $b$ de $I$, la portion de la courbe $C$ située entre les points $A(a\,;\,f(a))$ et $(b\,;\,f(b))$ est au-dessus de la sécante $(AB)$.

Cette définition utilise bien l'aspect visuel, n'est-ce pas ?, "au-dessus de" et "en dessous de" étant des critères visuels qui ne sont évidents que si on voit la figure, avec les axes orientés selon la représentation conventionnelle.
(Note en passant : comme l'un de vous me le faisait remarquer hors ligne, l'antonyme de "au-dessus de" est "au-dessous de".)

Le problème, c'est que ce qui est présenté ici ex abrupto comme une définition est en réalité un critère.

La démarche qui permet, à mon sens, de bien comprendre la logique de la convexité, que j'ai d'ailleurs apprise et comprise grâce à vous — Merci ! —, peut être:

Graphiquement parlant, un ensemble est défini comme "convexe" lorsque tout segment reliant deux points de cet ensemble appartient intégralement à cet ensemble.
Ainsi, l'ensemble représenté par la première figure est convexe ; à l'inverse, l'ensemble représenté par la seconde figure n'est pas convexe :

Une autre définition d'un ensemble convexe est que toute "étoile" formée à partir d'un point quelconque de l'ensemble (le centre de l'étoile) et d'autres points de l'ensemble (les branches de l'étoile) est intégralement incluse dans l'ensemble :

Note : Un ensemble non convexe n'est pas de facto concave.

Parmi tous les segments possibles, des segments particuliers sont des cordes, segments reliant deux points de la courbe délimitant l'ensemble.

Un critère visuel possible permettant de déterminer si une fonction est convexe ou concave est donc :

Dans un repère orienté selon la convention habituelle — axe des abscisses orienté horizontalement de gauche à droite, et axe des ordonnées orienté verticalement du bas vers le haut — une fonction est convexe si toutes les cordes de la courbe représentant la fonction sont au-dessus de la courbe :

Une fonction est concave si toutes les cordes de la courbe représentant la fonction sont au-dessous de la courbe :

Autre critère, toujours avec la même convention de repère : une fonction est convexe si l'intérieur de la courbe représentant la fonction est orienté vers le haut, et une fonction est concave si l'intérieur de la courbe la représentant est orienté vers le bas :

En s'affranchissant de l'orientation du repère, ce dernier critère peut être converti en :
Une fonction est convexe si l'intérieur de la courbe représentant la fonction est orienté vers les valeurs croissantes de l'axe portant le résultat du calcul, et une fonction est concave si l'intérieur de la courbe la représentant est orienté vers les valeurs décroissantes de l'axe portant le résultat :

On voit donc qu'à partir de deux définitions de base, on peut établir plusieurs critères de fonction convexe ou concave.

PS : Toute amélioration de ce "mini-cours impromptu" est bienvenue.

PPSS : J'aimerais trouver des formulations permettant d'expliquer les critères ci-dessus à un aveugle de naissance — pardon, il faut dire "non voyant" ! —, ayant donc une appréhension floue de "au-dessus de", "au-dessous de ", "vers le haut", "vers le bas"...

bridgslam · 13-09-2025 11:17:09

Bonjour Bernard,

On trace les deux tangentes aux 3 points de contacts.
Avec ta figure, chaque "cône" délimité par les deux droites de tangence provemant d'un même cercle (6 droites en tout) et l' arc du pétale correspondant est dans la fleur pleine.
L'ensemble des centres est l'intersection de ces trois parties ( une pour chaque pétale).
Selon la configuration exacte de ta figure, sa forme est variable.

Sauf erreur

Bernard-maths · 13-09-2025 11:32:19

YES ! Mais les arcs son tangents deux à deux aux 3 points ...

bridgslam · 13-09-2025 12:25:13

Pas sur ta figure... Apparemment avec mes lunettes il y a deux points d' intersection, et de toute façon si deux tangentes dont confondues, ça ne change rien , au lieu d'avoir au plus 6 côtés
la zone d'intersection en aura 3 ( si elle n'est pas réduite à 1 point , ce qui dépend de la géométrie exacte de ta figure,).
Les côtés du polygone résultat ne seront jamais rentrants, car comme intersection de convexes, c'est un convexe d'au plus 6 côtés ( 0 si ponctuel).
Si tes ronds sint isométriques, à l'œil tes points bleus ne forment pas un triangle équilatéral, d'où ma réponse.
Si tu fais une figure avec tangentes communes , triangle équilatéral... alors le croisement des 3 tangentes est le seul point central.

Dernière modification par bridgslam (13-09-2025 12:33:14)

bridgslam · 13-09-2025 12:47:04

Borassus a écrit :

A propos de cercles et de disques, un cercle n'est effectivement pas convexe :
https://zupimages.net/up/25/37/rrft.png
mais un disque fermé l'est :
https://zupimages.net/up/25/37/rrft.png
___________

Bonjour,

Un disque ouvert aussi...

Borassus · 13-09-2025 12:59:16

Bonjour bridgslam,

Effectivement.

jelobreuil · 13-09-2025 15:08:17

Re-bonjour à tous,
Bernard, il me semble que les arcs ne peuvent être tangents deux à deux aux points d'intersection que si ce sont des demi-cercles, ce qui n'est pas le cas sur ton dessin...
Boris, je te propos, plutôt que "orienté vers les valeurs croissantes", la formulation "orienté dans le sens des valeurs croissantes", car ce qui définit une orientation, c'est bien son sens, n'est-ce pas ?
Bien amicalement, Jean-Louis
PS je crains que mon message #50 ait été victime du changement de page, vu les heures d'envoi de nos messages de ce midi...

Dernière modification par jelobreuil (13-09-2025 15:18:53)

bridgslam · 13-09-2025 17:51:06

Bonjour,

https://www.geogebra.org/geometry/vkcabpwd

Voici l'ensemble des centres d'étoile de la fleur à 3 pétales circulaires dont les centres occupent un triangle équilatéral.
C'est la zone bleue, sorte d'écusson à 6 côtés (3 angles très ouverts afin de simuler des arrondis ).
Si on quitte cet écusson, par exemple très peu au-dessus du point le plus haut de son axe de symétrie vertical, le non étoilage vis à vis de ce point est vraiment imperceptible, mais on se rend compte tout-de-même qu'il appartient, par exemple en considérant le pétale au S-W, à une tangente à ce pétale coupant forcément la partie blanche (hors fleur).

On vérifie au passage qu'il est bien convexe ( comme intersection de 3 convexes).

Bonne soirée

Dernière modification par bridgslam (13-09-2025 22:07:25)

bridgslam · 13-09-2025 21:33:06

Bernard-maths a écrit :

Voici une figure de fleur à 3 pétales : cette zone orange est-elle etoilable (terme bizarre) ???
B-m

Ce nouvel adjectif attribut n'existe pas, la nomenclature mentionne le qualificatif d'"étoilé", qui remplit déjà ce rôle et revient à dire que l'ensemble C des points par rapport auxquels ... etc est non vide (ce qu'on a déjà dit).
Après ce n'est pas parce-qu' on sait qu'un ensemble est non vide qu'on le connaît, donc ce nouveau terme pourrait signifier "étoilé" + "et hop le voilà..." un peu à la façon d'un menu déroulable... pour une démo, une recette ... ou autre.

Ensuite une partie étoilée est-elle forcément "étoilable", je n'en ai aucune idée, mais peut-être que sur des parties assez complexes et/ou en grandes dimensions de l'espace considéré, l'ensemble des centres est difficile à expliciter...
Débat intéressant.

Alain

bridgslam · 13-09-2025 21:58:42

Bonsoir,

J'ai mis aussi un peu de couleur pour le centre de l'étoile-fleur d'Ukraine!
La construction du centre est maintenue.

https://www.geogebra.org/geometry/vmsqsrpc

A+

Bernard-maths · 14-09-2025 10:35:20

Bonjour à tous !

Etoilée ???

B-m

bridgslam · 14-09-2025 14:55:09

Bonjour,

▼visiblement...

Une autre question: quelle(s) sont les plus grandes parties du "poulpe", étoilées, contenant le carré central ?

On peut éventuellement "inventer" les définitions suivantes (je ne sais pas du tout si c'est orthodoxe) :

Si on désigne par C(P) l'ensemble des centre de P (comme étoile):

- une partie P de l'espace est dite étoilée par rapport à une partie X non vide de l'espace <=> P est étoilé par rapport à tous les points de X.
La définition est cohérente ( ...si X est singleton ...) . C(P) apparait comme la plus grande (pour l'inclusion) de ces parties X.
A partir de cela, quand le centre de P est-il convexe ?

- trouver des parties du plan dont le centre n'est pas convexe (en existe-il d'ailleurs)

- une partie non vide P de l'espace est dite "absolument non convexe" si la suite P, C(P), CC(P), CCC(P) ,... n'est pas stationnaire.
On remarque déjà que ça signifie que P et ses suivants doivent être étoilés non convexes (C(Vide) = Vide, et si P est convexe C(P) =P)
Peut-on en trouver ?

De quoi s'amuser donc.. mais les réponses sont peut-être triviales ?

Bonne fin de dimanche

Dernière modification par bridgslam (14-09-2025 17:36:45)

bridgslam · 14-09-2025 16:42:14

Bonjour,

Si P est une partie étoilée de l'espace, C(P) peut-il être non convexe ?

▼avis vraiment personnel

Dernière modification par bridgslam (16-09-2025 07:45:35)

bridgslam · 15-09-2025 08:50:16

Bonjour,

Si on en revient à l'interrogation initiale de Borassus, cela avait été déjà soulevé vers le début mai... avec en particulier des intervenants communs avec le fil actuel.

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=17881

La présente seconde "édition" a eu le mérite quant à moi, de me faire réfléchir plus avant sur la notion d'étoilé, sous-jacente à celle de convexité, qu'on retrouve d'ailleurs (sauf erreur) comme propriété au niveau des centres d'étoiles, s'il y en a, ainsi que d'aborder quelques questions sous forme d'énigmes graphiques, bons coloriages à l'appui.

"Cent fois sur le métier remettez votre ouvrage" a donc porté ses fruits.

Bonne journée

Borassus · 15-09-2025 11:05:16

Bonjour Alain, bonjour tout le monde,

J'hésitais à me replonger dans ce monumental échange de mai dernier (échange qui totalise à ce jour 26 657 vues, excusez du peu !!).
Ton message m'a incité à le redécouvrir dans son intégralité, souvent en souriant joyeusement-. :-)

Merci de cette impulsion.
Bonne journée et bonne semaine à tous.

PS : La présente discussion m'a fait découvrir la notion "d'étoile", que je compte répercuter dans mon document.

Dernière modification par Borassus (15-09-2025 11:14:15)

bridgslam · 15-09-2025 16:50:19

Bonsoir,

@Bernard :
Au fait...
Rien que pour 1 tentacule, il n'y a pas de centre car les zones bleues ne se coupent pas.

tentacule : pas étoilé!

A toutes fins pratiques, pour toutes les familles $(A_i) $ de parties de P de réunion P, comme $C(P)=\cap C(A_i)$,
pour montrer que P n'est pas étoilé il suffit de trouver une de ces familles dont l'intersection des centres sur une sous-famille de cette famille (notamment finie et de petit cardinal) est déjà vide.
Un moyen possible, peut-être, de simplifier la question.

Bonne fin de soirée.
A bientôt

Dernière modification par bridgslam (16-09-2025 07:41:46)

Michel Coste · 16-09-2025 22:36:13

Bonsoir,
Est-ce que qu'un pentagone plein est toujours étoilé ? (La question se pose bien sûr pour les pentagones non convexes.)

bridgslam · 16-09-2025 23:35:46

Bonsoir / bonjour,

J'y réfléchirai demain, il est tard ( ou plutôt tôt) et l‘énigme de Bernard m' a mis la tête au "carré".
A+ Michel

bridgslam · 17-09-2025 07:41:53

Bonjour,

Je pense que oui, il faut au moins un hexagone pour que deux demi-cônes dans un polygone plein soient disjoints.
Dans le pentagone, si on considère les demi-cônes issus des deux sommets voisins d'un point rentrant ( obligatoire puisque non convexe),
- ils se rencontrent ( au moins au point rentrant entre eux), ça fait déja 4 côté et c'est cuit , il est forcément étoilé quand on le termine avec un cinquième côté.

https://www.geogebra.org/geometry/xvrzjn86

Avec 6 côtés pas de souci, on a un côté de marge en plus qui permet de créer une sorte de Z avec deux cônes tête-bêche... Joints par deux segments qui prolongent chacun un côté de chaque cône.

https://www.geogebra.org/geometry/ksxxyb4r

Alain

Dernière modification par bridgslam (17-09-2025 08:50:10)

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#51 13-09-2025 11:15:58

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#52 13-09-2025 11:17:09

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